Сборник Задач

⚡️Терренс Тао: AI может сделать доказательства массовыми раньше, чем математика успеет к этому адаптироваться

В новой работе *Mathematics in the age of AI* Терренс Тао пишет, что математика входит в период серьёзной турбулентности.

Проблема уже не только в том, сможет ли AI доказывать теоремы.

Куда важнее другое: что произойдёт, если генерация доказательств станет дешёвой и массовой?

Тогда придётся заново отвечать на вопросы:

— что вообще считать вкладом в математику
— что значит «понять» доказательство
— за что давать признание
— кто считается автором работы: человек, AI или их связка
— какие результаты действительно ценны, если доказательств стало слишком много

Тао считает, что математикам придётся сделать явными те правила и ценности, которые раньше существовали неформально.

То есть AI может изменить не только то, как мы доказываем теоремы, но и само понимание того, что считается хорошей математикой.

https://arxiv.org/abs/2608.16753

🧮 AI может изменить саму природу математических исследований.

Bloomberg пишет о проблеме, которая уже начинает обсуждаться в академической среде: что будет, если AI начнёт создавать доказательства быстрее, чем люди смогут понять их последствия?

Математика может столкнуться не с нехваткой новых результатов, а с их избытком.

Сегодня академический успех строится вокруг количества публикаций, цитат и новых теорем. Но если машины смогут генерировать тысячи доказательств, ценность может сместиться в другое место.

Главным навыком станет не только найти решение, а понять, какие задачи вообще имеют значение.

Будущая роль математиков может быть больше связана с выбором направлений, проверкой важности результатов, объяснением сложных идей и обучением других.

Возможно, самым редким ресурсом станет не способность доказать теорему, а способность понять, почему она важна.

https://www.bloomberg.com/opinion/articles/2026-08-13/math-faces-an-ai-spiritual-crisis-it-has-a-lesson-for-the-rest-of-us

Единственные соседние степени во всей математике

Числа 8 и 9 выглядят обычно, но их соседство уникально:


2³ = 8
3² = 9


Это единственная пара степеней натуральных чисел больше 1, которые отличаются ровно на единицу.

Иными словами, уравнение


xᵖ - yᑫ = 1


при x, y, p, q > 1 имеет только одно решение:


3² - 2³ = 1


Эжен Каталан сформулировал эту гипотезу в 1844 году. Доказать её смогли лишь спустя более 150 лет: в 2002 году это сделал математик Преда Михэйлеску.

Сегодня результат известен как теорема Михэйлеску.

Простое утверждение оказалось настолько глубоким, что для доказательства понадобились современные методы алгебраической теории чисел.

🤯 OpenAI заявила о десяти прорывах в задачах, которые математики не могли решить десятилетиями

Результаты получила внутренняя версия Astra - следующей крупной модели компании.

Среди достижений:

— построен первый явный пример не-софической группы (особого типа абстрактной алгебраической структуры, которую раньше удавалось описывать только косвенно);
— опровергнута гипотеза жёсткости Конна (долгосрочное предположение в функциональном анализе о том, насколько строго определяются такие математические объекты);
— доказана квантовая теорема о параллельном повторении для общих двухигровых систем (показывает, как быстро падают шансы на успех при многократном повторении квантовых игр);
— доказана гипотеза Эрхарта об объёме (результат из геометрии, связанный с подсчётом точек в многомерных фигурах и их объёмами);
— впервые с 1978 года улучшена общая верхняя оценка плотности упаковки сфер (то есть насколько плотно можно «уложить» шары в пространстве).

По заявлению OpenAI, Astra самостоятельно нашла основные математические аргументы, а затем формализовала каждое доказательство в Lean. Вместе с машинно проверяемыми сертификатами опубликована рукопись на 249 страниц.

Успешные запуски обошлись бы примерно в $2000 по тарифам Sol API.

одели начинают предлагать новые доказательства для открытых задач - хотя теперь результаты должен внимательно проверить весь математический мир.

Astra ещё не выпущена, и OpenAI не называет её GPT-6.

openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/

Последняя волна этого года👆
Теперь ждем ранжированных списков и начнется движуха с зачислением.

🏅 23 июля в Филадельфии вручили Филдсовскую премию (аналог Нобелевской премии в мире математики) — её дают раз в четыре года математикам моложе 40 лет.

📌 Ван Хун (Нью-Йоркский университет, IHES) — за работы в гармоническом анализе и геометрической теории меры, в том числе за гипотезу Какея в трёх измерениях.

Ван Хун — третья женщина за 90 лет истории премии, после Мирзахани (2014) и Вязовской (2022).
Большой материал о Ван Хун — в Quanta.

🔢 Джейкоб Цимерман (Торонто) — за то, что превратил o-минимальность, инструмент из математической логики, в рабочий метод алгебраической геометрии, и за доказательство гипотезы Гриффитса и гипотезы Андре — Оорта для зигелевых модулярных многообразий.

🪢 Джон Пардон (Стоуни-Брук) — за достижения в симплектической геометрии, а также за вклад в другие области геометрии и топологии, включая теорию узлов.

💧 Дэн Юй (Чикагский университет) — за строгий вывод уравнения Больцмана из динамики твёрдых шаров для разреженного газа.

Подробнее:
Официальный сайт IMU
Материал Nature

Вторая часть сегодняшнего экзамена есть!

Задачи 4-го потока (вторая часть)

Третий поток

Условия задач первого дня IMO — главной международной Олимпиады по математике.

Приближённое значение числа «е», предложенное Ричардом Сейби, использует цифры от 1 до 9 и является точным с точностью до более чем семи триллионов знаков.

📲 Мы в MAX

👉 @Pomatematike