![](data:image/svg+xml;charset=utf-8,<svg width="640" height="640" style="background-color:%2344badc;font-family:Nunito,sans-serif" viewBox="0 0 100 100" preserveAspectRatio="xMidYMid meet" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<text font-size="30" x="50%" y="50%" dy="5" fill="white" dominant-baseline="middle" text-anchor="middle">Мб</text>
</svg>)
Что почитать на «нерабочей неделе»? Лекции по матану!
Лекция 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Понятие непрерывности функции в точке опирается на понятие предела и является, как говорят, локальным — оно зависит только от того, как функция ведёт себя в произвольно малой окрестности точки. Нас же зачастую интересуют глобальные свойства функций — например, является ли функция ограниченной, достигает ли своего максимума и минимума, имеет ли корни? Оказывается, в некоторых случаях можно перейти от локальных свойств к глобальным. Этот переход кажется простым, но часто эта простота обманчива. Например, мы знаем, что если функция непрерывна в какой-то точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (т.к. имеет предел). Пусть теперь функция непрерывна во всех точках некоторого множества. Значит ли это, что она будет ограничена на этом множестве? Оказывается, нет: например, функция f(x)=1/x является непрерывной в любой точке интервала (0, 1), но не является ограниченной на этом интервале.
В этой лекции мы обсудим несколько глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Они нам понадобятся в дальнейшем.
Лекция: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:14:cont-segment/ (и небольшой кусочек отсюда: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/#label_subsection_number_17_2_1 )
Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar14.pdf
Видео: https://youtu.be/75uxoVZbktk
Лекция 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Понятие непрерывности функции в точке опирается на понятие предела и является, как говорят, локальным — оно зависит только от того, как функция ведёт себя в произвольно малой окрестности точки. Нас же зачастую интересуют глобальные свойства функций — например, является ли функция ограниченной, достигает ли своего максимума и минимума, имеет ли корни? Оказывается, в некоторых случаях можно перейти от локальных свойств к глобальным. Этот переход кажется простым, но часто эта простота обманчива. Например, мы знаем, что если функция непрерывна в какой-то точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (т.к. имеет предел). Пусть теперь функция непрерывна во всех точках некоторого множества. Значит ли это, что она будет ограничена на этом множестве? Оказывается, нет: например, функция f(x)=1/x является непрерывной в любой точке интервала (0, 1), но не является ограниченной на этом интервале.
В этой лекции мы обсудим несколько глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Они нам понадобятся в дальнейшем.
Лекция: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:14:cont-segment/ (и небольшой кусочек отсюда: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/#label_subsection_number_17_2_1 )
Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar14.pdf
Видео: https://youtu.be/75uxoVZbktk