Сложность вычислений ФПМИ

В этом семестре канал используется для курса, который формально называется "Сложность вычислений. Избранные главы". Добавка "Избранные главы" не должна вводить в заблуждение, это плюс-минус стандартный курс. Если вы его уже слушали, по выбору нужно брать "Основы криптографии".

Нужно сейчас заявить спецкурс на следующий год. Традиционно я читаю спецкурс на одну из продвинутых тем курса сложности вычислений. Раньше было только осенью, но последние 4 года по просьбам слушателей продолжаю и весной. В связи с тем, что студенты ПМИ.Инф уже проходили курс криптографии, а он обязательный для кафедры ДМ, он будет заменён на более продвинутый курс криптографии, так что один курс точно будет. Не уверен, что смогу совмещать с другим курсом, но при наличии интереса постараюсь. Вот несколько возможных тем, в комментариях будут примерные программы, а также неанонимный консультативный опрос (т.е. будет выбран не обязательно вариант, набравший большинство голосов). Можно выбирать до утра 1 июня.
Дополнительные главы криптографии - обязательный для ПМИ.Инф+ДМ, факультативный для всех. Рекомендуется проходить после основного курса, но в принципе можно и параллельно. Примерные темы: конфиденциальные дву- и многосторонние вычисления, разделение секрета, византийское соглашение, электронные выборы, электронная наличность, блокчейн, неинтерактивные доказательства с нулевым разглашением, снарки и старки, обфускация. Возможны вариации.
Вероятностно проверяемые доказательства - это то, что мы недавно проходили, так что подробное представление, думаю, не нужно. В этом курсе доказывается "большая" PCP-теорема и её вариации вроде трёхбитной теоремы Хостада, а также изучаются сложности приближённого решения разных конкретных задач. Предыдущий раз курс читался 2 года назад.
Псевдослучайность и дерандомизация - в этом курсе изучаются разные псевдослучайные конструкции (экспандеры, экстракторы, коды с декодированием списком, генераторы псевдослучайных чисел и др.), которые в конечном итоге могут привести к доказательству BPP=P. Этот курс читался 3 года назад и обычно вызывает интерес, вполне могу прочесть снова.
Вычислительная сложность задач поиска - изучается сложность задач поиска, прежде всего тех, где ответ точно есть (и потому вопрос о существовании ответа тривиален). Есть растущий зоопарк классов, а также много приложений к разного рода экономическим моделям на базе теорем о неподвижных точках.
Рациональные интерактивные доказательства - изучается делегирование вычислений, при котором мощный сервер выполняет вычисления за деньги, максимизируя вознаграждение. Нужно так выстроить стимулы, чтобы при этом сервер выявил правильный ответ. Курс читался в прошлом году, так что повторю только при высоком интересе.

Можно также предлагать свои варианты, если мне один из них приглянётся, то можно будет изучить что-нибудь вместе. Имеющиеся программы курсов и опрос в комментариях.

Контрольная будет завтра с 12:20 до 15:20 в Цифре, 2.36. Кто хочет писать, отметьтесь в табличке, а то не будет варианта.

Предварительно расписание на оставшиеся занятия:
Завтра, 7 мая, будет только лекция про рациональные интерактивные доказательства, без семинара. Лекцию постараюсь начать вовремя, но могу задержаться из-за важного созвона.
14 мая будет 2 семинара: во время лекции и во время обычного семинара.

Сегодня, 16 апреля, лекция начнётся по расписанию (обсудим класс MIP и теорему MIP=NEXP), а вот семинара не будет - Иван заболел.

Сегодня, 2 апреля, лекции не будет - я болею. Семинар будет по расписанию.

Завтра, 19 марта, лекция будет. Начнём вовремя, приходите!

Завтра, 26 февраля, семинар состоится онлайн, ссылка появится в чате перед началом семинара. Настройка трансляции через проектор в аудитории остаётся на усмотрение слушателей.

#дневниклекций
В четверг доказывали теорему Голдвассер-Сипсера для задачи GNI и начали IP=PSPACE. Вот что прошли:
- Напоминание, откуда берётся множество S, размер которого связан с неизоморфизмом графов. Идея хеширование.
- Определение семейства попарно независимых хеш-функций. Эквивалентность двух вариантов.
- Обсуждение арифметики в поле из 2^n элементов и задачи поиска неприводимого многочлена.
- Построение необходимого семейства хеш-функций как линейных функций в поле из 2^n элементов.
- Подбор параметров и конструкция протокола на базе семейства хеш-функций. Доказательство его корректности через попарную независимость.
- История открытия IP=PSPACE через переписку по имейлу.
- Идея арифметизации: преобразование логической формулы в многочлен малой степени.
- Построение интерактивного протокола для задачи о тавтологичности 3-ДНФ.

В следующий раз построим общий протокол IP=PSPACE.

#дневниклекций
В прошлый раз обсуждали подробно про АМ-классы:
- Напоминание определений: классы МА, АМ, более высокие вроде АМА и МАМ и общий AM[k]
- Формулировка теоремы об ускорении: AM[const]=AM, AM[2k(n)]=AM[k(n)]
- Схема доказательства первой части: амплификация, вложения типа AMA=AAM=AM.
- Вложение АМ и МА в полиномиальную иерархию.
- Формулировка теоремы Голдвассер-Сипсера о моделировании частных битов при помощи общих. Идея доказательства на примере задачи о неизоморфизме: сведение к оценке размера некоторого множества, принадлежность к которому Мерлин может удостоверять. Обсуждение, почему не работает обычный метод Монте-Карло.
- Почему, исходя из всего предыдущего, в конце 80-х учёные думали, что IP это не очень большой класс

Завтра будем разбираться, какой метод работает, и начнём разбирать IP=PSPACE

Объявление: завтра семинара не будет, только лекция. Вероятно, 19 марта не будет лекции, а будет 2 семинара.

#дневниклекций
Попробую в этом семестре записывать, что прошли на лекциях. Если что-то важное забываю, дополняйте. В прошлый раз была начальная лекция про интерактивные доказательства. Примерное содержание:
- Доказательство как текст и как процесс. Пример с разноцветными носками.
- Общее определение интерактивной системы доказательств с прувером и верификатором. Класс IP. Тривиальные вложения NP и BPP в IP, протокол для задачи GNI (о неизоморфизме графов).
- Независимость класса от точных порогов ошибки (через амплификацию). Варианты с совпадением порогов для строгих неравенств и с идеальной полнотой должны были разбираться на семинаре.
- Вложение IP в PSPACE через вычисление оптимальных ответов прувера на полиномиальной памяти. (Доказали для упрощённого случая).
- Вариант с общими случайными битами. Классы MA и AM. Вложение МА в АМ. Утверждения про многраундовый АМ (с константным числом раундов - так же, как с двумя, с полиномиальным - как IP, пока без доказательств)