Друзья,
Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: 9 лет.
Несмотря на то, что это самый популярный ответ, его дали лишь 36% респондентов.
👉Решение
Целями хороших инвестиций являются:
🔹вернуть деньги назад и
🔹как минимум, сохранить их покупательную способность.
В этом примере мы покупаем актив за $300 тыс. сегодняшних долларов. Каждый из этих долларов имеет определенную покупательную способность (на них можно купить определенной число конкретных товаров и услуг).
В конце каждого года мы получаем $50 тыс. дохода от этого актива. Но это БУДУЩИЕ доллары и они имеют меньшую покупательную способность, чем доллары во вложенных $300 тыс. Это происходит из-за инфляции – на будущие доллары вы можете купить меньше вещей, чем на сегодняшние.
👆Целью задачи является определение момента, когда мы сможем получить больше покупательной способности, чем вложили. Это и можно назвать моментом, когда актив «себя окупает».
Так как в нашем примере инфляция составляет 7% в год, будущая покупательная способность каждых из получаемых $50 тыс. будет равна:
$50 тыс. (=50K) в конце первого года = 50K/(1+0.07),
50K в конце второго года = 50K/(1.07^2),
50K в конце третьего года = 50K/(1.07^3) и так далее.
Обратите внимание, что для учета инфляции мы не умножаем будущие доллары на 0.93 (как бы вычитая инфляцию из сегодняшнего эталона денег), а делим на (1+инфляция). Именно эта техника является правильной, потому, что для нее работает обратная формула для определения будущей стоимости вложений FV = PV(1+r)^n.
Итак, мы ищем срок, к которому наш актив «окупит себя». Пусть этот срок будет = N. Тогда покупательная способность всех поступлений до этого срока будет рана следующей сумме:
50K/(1+0.7) + 50K/(1.07^2) + 50K/(1.07^3) + … + 50K/(1.07^N)
-----
На этом месте вы можете найти ответ итерационно, как поступили многие в комментариях. Более строго, решение выглядит так:
Последнюю сумму можно представить как: = 50K*(1/1.07+1/1.07^2+1/1.07^3+…+1/1.07^N)
Выражение в скобках можно представить как сумму первых n членов геометрической прогрессии (b1(1-q^n)/(1-q)) и тогда далее: = 50K*(1/1.07)*((1-1/1.07^N)/(1-1/1.07))
Далее упрощаем: = 50K*(1-1/1.07^N)/(1.07-1) = (50K*(1-1/1.07^N)/(0.07)
Эта покупательная способность должна быть больше или равной покупательной способности наших вложений 300K, то есть получаем неравенство:
(50K*(1-1/1.07^N)/(0.07) >= 300K
И решаем его, чтобы найти N:
(1-1/1.07^N) >= (300K/50K)*0.07 = 0.42
1/1.07^N >= 1-0.42 = 0.58
1.07^N >= 1/0.58
N >= log(1/0.58) / log(1.07) = 8.0511
Так как платежи по активу поступают в конце года, то N >= 9 и наш «период окупаемости» с учетом инфляции составляет 9 лет. Поэтому верен ответ > 8 лет,
Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: 9 лет.
Несмотря на то, что это самый популярный ответ, его дали лишь 36% респондентов.
👉Решение
Целями хороших инвестиций являются:
🔹вернуть деньги назад и
🔹как минимум, сохранить их покупательную способность.
В этом примере мы покупаем актив за $300 тыс. сегодняшних долларов. Каждый из этих долларов имеет определенную покупательную способность (на них можно купить определенной число конкретных товаров и услуг).
В конце каждого года мы получаем $50 тыс. дохода от этого актива. Но это БУДУЩИЕ доллары и они имеют меньшую покупательную способность, чем доллары во вложенных $300 тыс. Это происходит из-за инфляции – на будущие доллары вы можете купить меньше вещей, чем на сегодняшние.
👆Целью задачи является определение момента, когда мы сможем получить больше покупательной способности, чем вложили. Это и можно назвать моментом, когда актив «себя окупает».
Так как в нашем примере инфляция составляет 7% в год, будущая покупательная способность каждых из получаемых $50 тыс. будет равна:
$50 тыс. (=50K) в конце первого года = 50K/(1+0.07),
50K в конце второго года = 50K/(1.07^2),
50K в конце третьего года = 50K/(1.07^3) и так далее.
Обратите внимание, что для учета инфляции мы не умножаем будущие доллары на 0.93 (как бы вычитая инфляцию из сегодняшнего эталона денег), а делим на (1+инфляция). Именно эта техника является правильной, потому, что для нее работает обратная формула для определения будущей стоимости вложений FV = PV(1+r)^n.
Итак, мы ищем срок, к которому наш актив «окупит себя». Пусть этот срок будет = N. Тогда покупательная способность всех поступлений до этого срока будет рана следующей сумме:
50K/(1+0.7) + 50K/(1.07^2) + 50K/(1.07^3) + … + 50K/(1.07^N)
-----
На этом месте вы можете найти ответ итерационно, как поступили многие в комментариях. Более строго, решение выглядит так:
Последнюю сумму можно представить как: = 50K*(1/1.07+1/1.07^2+1/1.07^3+…+1/1.07^N)
Выражение в скобках можно представить как сумму первых n членов геометрической прогрессии (b1(1-q^n)/(1-q)) и тогда далее: = 50K*(1/1.07)*((1-1/1.07^N)/(1-1/1.07))
Далее упрощаем: = 50K*(1-1/1.07^N)/(1.07-1) = (50K*(1-1/1.07^N)/(0.07)
Эта покупательная способность должна быть больше или равной покупательной способности наших вложений 300K, то есть получаем неравенство:
(50K*(1-1/1.07^N)/(0.07) >= 300K
И решаем его, чтобы найти N:
(1-1/1.07^N) >= (300K/50K)*0.07 = 0.42
1/1.07^N >= 1-0.42 = 0.58
1.07^N >= 1/0.58
N >= log(1/0.58) / log(1.07) = 8.0511
Так как платежи по активу поступают в конце года, то N >= 9 и наш «период окупаемости» с учетом инфляции составляет 9 лет. Поэтому верен ответ > 8 лет,