СОВПАДЕНИЯ, РИСКИ И ПОЧЕМУ ВЫ, СКОРЕЕ ВСЕГО, НЕПРАВИЛЬНО СЧИТАЕТЕ
Представьте, что Илон Маск решил раздать $150млрд. Он отправляет случайной семье в США $10млн и делает так 15 000 раз (семьи могут повторяться).
Если в США 130млн семей, какова вероятность того, что по крайней мере 1 семья получит несколько платежей?
Мы спросили наших читателей, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Результаты на картинке выше.
👉 Правильный ответ на эту задачку: ~ 57,91%.
Этот вариант получил наименьшее количество голосов. Только ~5% респондентов проголосовали за него. Остальные ~95% ошиблись.
👉 РЕШЕНИЕ
Эту загадку гораздо проще решить, поставив вопрос наоборот. То есть вместо того, чтобы спрашивать, какова вероятность того, что хотя бы одна семья получит несколько платежей, мы спрашиваем об обратном: какова вероятность того, что ни одна семья не получит несколько платежей?
Число исходов, в которых это может произойти:
(Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)15000!
15000! – это факториал 15 000 = 12345 … 15000, который означает число вариантов распределения 15 тыс. платежей среди этих 15 тыс. семей (в комбинаторике это называют Перемещениями).
Общее число вариантов, с помощью которых Илон сможет отправить платежи = (130млн)^15тыс
, то есть платеж 1 может быть отправлен любой из 130 млн. семей, платеж 2 может быть отправлен любой из 130 млн. семей и т.д.
Таким образом, вероятность (P) возникновения нашей ситуации:
P = ((Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)15000!) / (130млн)^15тыс
В комбинаторике Сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов. Число сочетаний без повторений определяется так:
(Число сочетаний выбора k=15тыс семей из n=130млн) = n!/(k!(n-k)!) = 130млн/(15тыс!(130млн-15тыс)!)
Поэтому далее: P = (130млн!/(15тыс!(130млн-15тыс)!)) * (15тыс!/(130млн)^15тыс)
После сокращений: = 130млн! / ((130млн-15тыс)!130млн^15тыс)
Раскладывая факториалы и степень получаем: = (130млн/130млн)((130млн-1)/130млн)((130млн-2)/130млн) … *((130млн-15млн+1)/130млн)
Первое отношение сокращается и получаем:
P = prod(1-i/130млн), где i = 1 до 14999, = 42.09%
Вы можете легко рассчитать это произведение, используя Python, R или даже Excel.
В конце концов, это означает, что вероятность события, при котором, по крайней мере одна семья получит несколько платежей будет:
= 1-0.4209 = 57.91%
и поэтому верен ответ >50%,
Представьте, что Илон Маск решил раздать $150млрд. Он отправляет случайной семье в США $10млн и делает так 15 000 раз (семьи могут повторяться).
Если в США 130млн семей, какова вероятность того, что по крайней мере 1 семья получит несколько платежей?
Мы спросили наших читателей, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Результаты на картинке выше.
👉 Правильный ответ на эту задачку: ~ 57,91%.
Этот вариант получил наименьшее количество голосов. Только ~5% респондентов проголосовали за него. Остальные ~95% ошиблись.
👉 РЕШЕНИЕ
Эту загадку гораздо проще решить, поставив вопрос наоборот. То есть вместо того, чтобы спрашивать, какова вероятность того, что хотя бы одна семья получит несколько платежей, мы спрашиваем об обратном: какова вероятность того, что ни одна семья не получит несколько платежей?
Число исходов, в которых это может произойти:
(Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)15000!
15000! – это факториал 15 000 = 12345 … 15000, который означает число вариантов распределения 15 тыс. платежей среди этих 15 тыс. семей (в комбинаторике это называют Перемещениями).
Общее число вариантов, с помощью которых Илон сможет отправить платежи = (130млн)^15тыс
, то есть платеж 1 может быть отправлен любой из 130 млн. семей, платеж 2 может быть отправлен любой из 130 млн. семей и т.д.
Таким образом, вероятность (P) возникновения нашей ситуации:
P = ((Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)15000!) / (130млн)^15тыс
В комбинаторике Сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов. Число сочетаний без повторений определяется так:
(Число сочетаний выбора k=15тыс семей из n=130млн) = n!/(k!(n-k)!) = 130млн/(15тыс!(130млн-15тыс)!)
Поэтому далее: P = (130млн!/(15тыс!(130млн-15тыс)!)) * (15тыс!/(130млн)^15тыс)
После сокращений: = 130млн! / ((130млн-15тыс)!130млн^15тыс)
Раскладывая факториалы и степень получаем: = (130млн/130млн)((130млн-1)/130млн)((130млн-2)/130млн) … *((130млн-15млн+1)/130млн)
Первое отношение сокращается и получаем:
P = prod(1-i/130млн), где i = 1 до 14999, = 42.09%
Вы можете легко рассчитать это произведение, используя Python, R или даже Excel.
В конце концов, это означает, что вероятность события, при котором, по крайней мере одна семья получит несколько платежей будет:
= 1-0.4209 = 57.91%
и поэтому верен ответ >50%,