AI РЕШИЛ ПРОБЛЕМУ ЯКОБИАНА
Мы живём в удивительный момент. Вчера математик, работающий в Anthropic, попросил Claude Fable найти контрпример к "гипотезе о Якобиане" и AI быстро его нашёл. Задача стояла почти 100 лет и ей занимались очень серьёзные люди, включая крупнейших математиков нашего времени. Но каждый может вручную проверить, что контпример действительно работает.
Задача такая. Есть отображение из N-мерного пространства в N-мерное пространство, заданное многочленами. (То есть каждая координата образа - многочлен от координат исходного пространства.) Составим Якобиан, определитель матрицы, состоящей из частных производных. Он тоже многочлен. Гипотеза состоит в том, что если его значение постоянно и не равно нулю, то существует обратное отображение, тоже заданное многочленами.
Детская задача - доказать, что это верно для N=1. (Конечно, надо всё время предполагать, что поле, откуда коэффициенты, ненулевой характеристики.) Про N=2 пока неизвестно (возможно, это самый сложный случай). А при N>2 неверна, как известно со вчерашнего дня.
Теперь интересно, почему этот пример не нашли раньше. (К сожалению, совсем непросто теперь, когда ответ известен, объяснить, что это было очень сложная задача. Перебор там не может помочь, даже при том, что контрпример - многочлен всего от трёх переменных.) Интересно так же, какие другие давние гипотезы будут доказаны или отвергнуты в ближайшее время?
Или, может быть, появится элементарное доказательство теоремы Ферма? С проблемой якобиана "повезло" - после того как контрпример найден, легко проверить, что это настоящий ответ. А если бы ИИ выдало бы что-то типа доказательства теоремы Ферма (после месяцев проверок в доказательства Уайльса был найден пробел, который через несколько месяцев сумели закрыть) или решения Перельманом проблемы Пуанкаре (переписывание в доступную для широкого круга профессиональных математиков заняло у нескольких команд несколько месяцев). Возможно, случаи, когда ИИ решает знаменитые своей сложностью математические задачи - это, на самом деле, редкие исключения, а не новые правила.
Мы живём в удивительный момент. Вчера математик, работающий в Anthropic, попросил Claude Fable найти контрпример к "гипотезе о Якобиане" и AI быстро его нашёл. Задача стояла почти 100 лет и ей занимались очень серьёзные люди, включая крупнейших математиков нашего времени. Но каждый может вручную проверить, что контпример действительно работает.
Задача такая. Есть отображение из N-мерного пространства в N-мерное пространство, заданное многочленами. (То есть каждая координата образа - многочлен от координат исходного пространства.) Составим Якобиан, определитель матрицы, состоящей из частных производных. Он тоже многочлен. Гипотеза состоит в том, что если его значение постоянно и не равно нулю, то существует обратное отображение, тоже заданное многочленами.
Детская задача - доказать, что это верно для N=1. (Конечно, надо всё время предполагать, что поле, откуда коэффициенты, ненулевой характеристики.) Про N=2 пока неизвестно (возможно, это самый сложный случай). А при N>2 неверна, как известно со вчерашнего дня.
Теперь интересно, почему этот пример не нашли раньше. (К сожалению, совсем непросто теперь, когда ответ известен, объяснить, что это было очень сложная задача. Перебор там не может помочь, даже при том, что контрпример - многочлен всего от трёх переменных.) Интересно так же, какие другие давние гипотезы будут доказаны или отвергнуты в ближайшее время?
Или, может быть, появится элементарное доказательство теоремы Ферма? С проблемой якобиана "повезло" - после того как контрпример найден, легко проверить, что это настоящий ответ. А если бы ИИ выдало бы что-то типа доказательства теоремы Ферма (после месяцев проверок в доказательства Уайльса был найден пробел, который через несколько месяцев сумели закрыть) или решения Перельманом проблемы Пуанкаре (переписывание в доступную для широкого круга профессиональных математиков заняло у нескольких команд несколько месяцев). Возможно, случаи, когда ИИ решает знаменитые своей сложностью математические задачи - это, на самом деле, редкие исключения, а не новые правила.