У меня много контента для вас, есть даже чем немножко похвастаться. План постить по два обзора игр в неделю уже давно забыт. Но новости идут такие потрясающие, что пока всё-таки продолжаю обсуждать именно их, а к себе любимому вернусь позже.
На этой неделе (в первой половине этой недели...) главная AI-новость опять математическая. Claude Fable нашёл контрпример к проблеме якобиана, которая стояла с 1930-х годов и вошла, например, в известный список проблем Смейла. Проверить его ничего не стоит, сможет любой студент; но давайте попытаемся разобраться в контексте.
Ниже сокращённое введение, читать надо по ссылке:
Басня о якобиане: The Fable of the Jacobian Conjecture
Мы живём в дивном новом мире для математики. В мае внутренняя модель OpenAI опровергла гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях, неделю назад GPT 5.6 доказала гипотезу о двойном покрытии циклами.
В прошлый раз я закончил пост словами: "Если у вас есть любимая гипотеза, в которую вы верите, самое время написать про неё хороший промпт". Что ж, люди так и сделали, и сегодня у нас третий эпизод того же сериала.
На этот раз отличилась модель от Anthropic: 19 июля, пока человечество смотрело финал чемпионата мира по футболу, Claude Fable 5 построил контрпример к проблеме якобиана (Jacobian conjecture) — одной из самых знаменитых открытых проблем алгебраической геометрии, номеру 16 в списке Смейла, простоявшей с 1939 года.
В прошлых сериях были хотя бы двухстраничные препринты, а здесь научная коммуникация ещё ближе к сингулярности; результат целиком существует в виде твита математика Левента Алпёге (Levent Alpöge). [...]
Что такое проблема якобиана
Возьмём отображение, заданное несколькими многочленами от нескольких переменных — скажем, тремя многочленами от трёх переменных. Из его частных производных собирается матрица, и её определитель (якобиан) измеряет, как отображение локально искажает объёмы. Там, где якобиан не ноль, отображение локально обратимо: маленькую окрестность точки оно переводит взаимно однозначно. У всякого обратимого полиномиального отображения якобиан оказывается ненулевой константой.
Проблема якобиана — это вопрос о том, верно ли обратное. Если якобиан — ненулевая константа, то есть отображение нигде локально не вырождается, обязано ли оно быть обратимым глобально (и тогда обратное к нему автоматически тоже полиномиальное)?
Оказалось что не обязано. Контрпример представляет собой три многочлена от трёх переменных степени 7, у которых якобиан (определитель матрицы 3x3) тождественно равен −2, но три разные точки переходят в одну и ту же. Проверка, когда контрпример уже построен, абсолютно тривиальная.
Что есть в посте:
— Предыдущие попытки и частичные результаты. К 1982 году было не менее пяти опубликованных и отрецензированных (!) ошибочных доказательств, в том числе от Сегре и Грёбнера; диссертация Итана Чжана тоже была про эту задачу. Верные результаты: степень 2 в любой размерности, две переменные до степени 100, сведение к кубическим отображениям; сеть эквивалентных гипотез (Диксмье, Пуассон, Матье) и вещественный контрпример Пинчука (1994).
— Контрпример и его проверка. Сам герой дня и базис Грёбнера, подтверждающий, что в твите приведён весь набор прообразов целиком.
— Как это устроено. Оказывается, прообразы любой точки — корни явно выписываемого кубического уравнения, так что "обратная функция" здесь — просто формула Кардано. Здесь есть и кое-какие картинки: фазовая диаграмма "сколько у точки вещественных прообразов", а также точка, у которой прообразов нет вовсе (отображение не сюръективно, что в данном случае естественно).
— Что ещё опровергает этот пример.
— Как это было найдено. Пока непонятно как: ни статьи, ни промпта, ни логов. Зато независимых проверок уже сколько угодно, а Wikipedia и MathWorld обновились за сутки.
В общем, дивный новый мир продолжается. Что дальше, коллеги?
#blog #ai #math #longreads
На этой неделе (в первой половине этой недели...) главная AI-новость опять математическая. Claude Fable нашёл контрпример к проблеме якобиана, которая стояла с 1930-х годов и вошла, например, в известный список проблем Смейла. Проверить его ничего не стоит, сможет любой студент; но давайте попытаемся разобраться в контексте.
Ниже сокращённое введение, читать надо по ссылке:
Басня о якобиане: The Fable of the Jacobian Conjecture
Мы живём в дивном новом мире для математики. В мае внутренняя модель OpenAI опровергла гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях, неделю назад GPT 5.6 доказала гипотезу о двойном покрытии циклами.
В прошлый раз я закончил пост словами: "Если у вас есть любимая гипотеза, в которую вы верите, самое время написать про неё хороший промпт". Что ж, люди так и сделали, и сегодня у нас третий эпизод того же сериала.
На этот раз отличилась модель от Anthropic: 19 июля, пока человечество смотрело финал чемпионата мира по футболу, Claude Fable 5 построил контрпример к проблеме якобиана (Jacobian conjecture) — одной из самых знаменитых открытых проблем алгебраической геометрии, номеру 16 в списке Смейла, простоявшей с 1939 года.
В прошлых сериях были хотя бы двухстраничные препринты, а здесь научная коммуникация ещё ближе к сингулярности; результат целиком существует в виде твита математика Левента Алпёге (Levent Alpöge). [...]
Что такое проблема якобиана
Возьмём отображение, заданное несколькими многочленами от нескольких переменных — скажем, тремя многочленами от трёх переменных. Из его частных производных собирается матрица, и её определитель (якобиан) измеряет, как отображение локально искажает объёмы. Там, где якобиан не ноль, отображение локально обратимо: маленькую окрестность точки оно переводит взаимно однозначно. У всякого обратимого полиномиального отображения якобиан оказывается ненулевой константой.
Проблема якобиана — это вопрос о том, верно ли обратное. Если якобиан — ненулевая константа, то есть отображение нигде локально не вырождается, обязано ли оно быть обратимым глобально (и тогда обратное к нему автоматически тоже полиномиальное)?
Оказалось что не обязано. Контрпример представляет собой три многочлена от трёх переменных степени 7, у которых якобиан (определитель матрицы 3x3) тождественно равен −2, но три разные точки переходят в одну и ту же. Проверка, когда контрпример уже построен, абсолютно тривиальная.
Что есть в посте:
— Предыдущие попытки и частичные результаты. К 1982 году было не менее пяти опубликованных и отрецензированных (!) ошибочных доказательств, в том числе от Сегре и Грёбнера; диссертация Итана Чжана тоже была про эту задачу. Верные результаты: степень 2 в любой размерности, две переменные до степени 100, сведение к кубическим отображениям; сеть эквивалентных гипотез (Диксмье, Пуассон, Матье) и вещественный контрпример Пинчука (1994).
— Контрпример и его проверка. Сам герой дня и базис Грёбнера, подтверждающий, что в твите приведён весь набор прообразов целиком.
— Как это устроено. Оказывается, прообразы любой точки — корни явно выписываемого кубического уравнения, так что "обратная функция" здесь — просто формула Кардано. Здесь есть и кое-какие картинки: фазовая диаграмма "сколько у точки вещественных прообразов", а также точка, у которой прообразов нет вовсе (отображение не сюръективно, что в данном случае естественно).
— Что ещё опровергает этот пример.
— Как это было найдено. Пока непонятно как: ни статьи, ни промпта, ни логов. Зато независимых проверок уже сколько угодно, а Wikipedia и MathWorld обновились за сутки.
В общем, дивный новый мир продолжается. Что дальше, коллеги?
#blog #ai #math #longreads