Когда период может не появиться
В основании φ стандартная запись любой рациональной дроби в конце концов становится периодической.
Но для произвольного иррационального основания это уже неверно.
Посмотрим, чем в этом отношении отличаются φ и √2.
Минимальный многочлен для φ — x² − x − 1.
Его корни: φ = (1+√5)/2
и (1−√5)/2 = −1/ φ.
Второй корень по модулю меньше 1.
Числа с таким свойством выделяют в особый класс.
Число Пизо — это вещественное число β > 1, минимальный многочлен которого имеет целые коэффициенты и старший коэффициент 1, а все остальные его корни имеют модуль меньше 1.
Золотое сечение — число Пизо.
Для любого основания β, являющегося числом Пизо, стандартная β-запись каждой рациональной дроби x, 0 ≤ x < 1, в конце концов становится периодической. Более того, это верно для всех чисел из ℚ(β).
Теперь возьмём β = √2. Его минимальный многочлен — x² − 2,
а корни равны √2 и −√2.
У второго корня модуль тоже равен √2, то есть больше 1.
И здесь действует обратное ограничение: если у минимального многочлена основания есть другой корень с модулем больше 1, то не каждая рациональная дробь может иметь в итоге периодическую стандартную запись.
Значит, существуют рациональные дроби, стандартные записи которых в основании √2 не становятся периодическими.
Почему вообще важны остальные корни многочлена?
Смысл этого условия можно увидеть так. При построении β-записи возникают последовательные остатки. В доказательстве те же выражения рассматривают и при остальных корнях минимального многочлена. Если их модули меньше 1, эти величины остаются ограниченными.
После умножения на общий знаменатель соответствующие состояния образуют точки дискретной решётки. В ограниченной области таких точек лишь конечное число.
Значит, какое-то состояние повторится — и вслед за ним начнут повторяться цифры.
У φ этот механизм работает, а у √2 условие нарушается: второй корень по модулю больше 1.
Любопытно, что обычные целые основания тоже укладываются в эту картину. Например, минимальный многочлен числа 10 — это x − 10.
Других корней у него нет, поэтому 10 тоже является числом Пизо.
Действительно, любое целое число больше 1 формально относится к числам Пизо.
Получается, привычная периодичность рациональных дробей в десятичной системе и периодичность в основании φ связаны одним общим свойством основания.
А иррациональность сама по себе периода вовсе не гарантирует.
В основании φ стандартная запись любой рациональной дроби в конце концов становится периодической.
Но для произвольного иррационального основания это уже неверно.
Посмотрим, чем в этом отношении отличаются φ и √2.
Минимальный многочлен для φ — x² − x − 1.
Его корни: φ = (1+√5)/2
и (1−√5)/2 = −1/ φ.
Второй корень по модулю меньше 1.
Числа с таким свойством выделяют в особый класс.
Число Пизо — это вещественное число β > 1, минимальный многочлен которого имеет целые коэффициенты и старший коэффициент 1, а все остальные его корни имеют модуль меньше 1.
Золотое сечение — число Пизо.
Для любого основания β, являющегося числом Пизо, стандартная β-запись каждой рациональной дроби x, 0 ≤ x < 1, в конце концов становится периодической. Более того, это верно для всех чисел из ℚ(β).
Теперь возьмём β = √2. Его минимальный многочлен — x² − 2,
а корни равны √2 и −√2.
У второго корня модуль тоже равен √2, то есть больше 1.
И здесь действует обратное ограничение: если у минимального многочлена основания есть другой корень с модулем больше 1, то не каждая рациональная дробь может иметь в итоге периодическую стандартную запись.
Значит, существуют рациональные дроби, стандартные записи которых в основании √2 не становятся периодическими.
Почему вообще важны остальные корни многочлена?
Смысл этого условия можно увидеть так. При построении β-записи возникают последовательные остатки. В доказательстве те же выражения рассматривают и при остальных корнях минимального многочлена. Если их модули меньше 1, эти величины остаются ограниченными.
После умножения на общий знаменатель соответствующие состояния образуют точки дискретной решётки. В ограниченной области таких точек лишь конечное число.
Значит, какое-то состояние повторится — и вслед за ним начнут повторяться цифры.
У φ этот механизм работает, а у √2 условие нарушается: второй корень по модулю больше 1.
Любопытно, что обычные целые основания тоже укладываются в эту картину. Например, минимальный многочлен числа 10 — это x − 10.
Других корней у него нет, поэтому 10 тоже является числом Пизо.
Действительно, любое целое число больше 1 формально относится к числам Пизо.
Получается, привычная периодичность рациональных дробей в десятичной системе и периодичность в основании φ связаны одним общим свойством основания.
А иррациональность сама по себе периода вовсе не гарантирует.