Без знака минус
В обычной позиционной системе веса разрядов равны
1, 2, 4, 8, …
если основание равно 2.
А если взять основание −2, веса станут
1, −2, 4, −8, 16, …
Поэтому
1101₋₂ = (−2)³ + (−2)² + 1 = −8 + 4 + 1 = −3.
Никакого знака минус в самой записи нет.
Это не случайный фокус: каждое целое число — положительное, отрицательное или ноль — имеет единственную конечную запись в системе с основанием −2 с цифрами 0 и 1.
Например,
1 = 1₋₂,
2 = 110₋₂,
3 = 111₋₂,
4 = 100₋₂,
а
−1 = 11₋₂,
−2 = 10₋₂,
−3 = 1101₋₂,
−4 = 1100₋₂.
Есть одна необычная особенность. В любой позиционной системе приписать справа ноль — значит умножить число на основание.
Здесь основание отрицательное. Поэтому
111₋₂ = 3,
1110₋₂ = −6,
11100₋₂ = 12,
111000₋₂ = −24.
Каждый сдвиг на один разряд не только удваивает модуль, но и меняет знак числа.
Более того, знак можно определить уже по длине записи.
Если старшая единица стоит при (−2)ⁿ, её абсолютный вклад равен 2ⁿ. Все младшие разряды вместе по абсолютной величине дают не больше
1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ−1.
Поэтому они не способны изменить знак старшего слагаемого.
Значит, запись нечётной длины представляет положительное число, а чётной — отрицательное.
В обычной системе знак приходится добавлять к записи отдельно.
Здесь знак зашит в саму структуру разрядов: один дополнительный разряд способен превратить положительное число в отрицательное.
Эта система не осталась математической игрушкой. Польский компьютер UMC-1, серийно выпускавшийся с 1962 года, использовал нега-двоичную арифметику, разработанную Здиславом Павляком.
В обычной позиционной системе веса разрядов равны
1, 2, 4, 8, …
если основание равно 2.
А если взять основание −2, веса станут
1, −2, 4, −8, 16, …
Поэтому
1101₋₂ = (−2)³ + (−2)² + 1 = −8 + 4 + 1 = −3.
Никакого знака минус в самой записи нет.
Это не случайный фокус: каждое целое число — положительное, отрицательное или ноль — имеет единственную конечную запись в системе с основанием −2 с цифрами 0 и 1.
Например,
1 = 1₋₂,
2 = 110₋₂,
3 = 111₋₂,
4 = 100₋₂,
а
−1 = 11₋₂,
−2 = 10₋₂,
−3 = 1101₋₂,
−4 = 1100₋₂.
Есть одна необычная особенность. В любой позиционной системе приписать справа ноль — значит умножить число на основание.
Здесь основание отрицательное. Поэтому
111₋₂ = 3,
1110₋₂ = −6,
11100₋₂ = 12,
111000₋₂ = −24.
Каждый сдвиг на один разряд не только удваивает модуль, но и меняет знак числа.
Более того, знак можно определить уже по длине записи.
Если старшая единица стоит при (−2)ⁿ, её абсолютный вклад равен 2ⁿ. Все младшие разряды вместе по абсолютной величине дают не больше
1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ−1.
Поэтому они не способны изменить знак старшего слагаемого.
Значит, запись нечётной длины представляет положительное число, а чётной — отрицательное.
В обычной системе знак приходится добавлять к записи отдельно.
Здесь знак зашит в саму структуру разрядов: один дополнительный разряд способен превратить положительное число в отрицательное.
Эта система не осталась математической игрушкой. Польский компьютер UMC-1, серийно выпускавшийся с 1962 года, использовал нега-двоичную арифметику, разработанную Здиславом Павляком.