Отрицательный перенос

В двоичной системе
1 + 1 = 10₂:
пишем 0 и переносим 1 в следующий разряд.
В системе с основанием −2 так нельзя:
10₋₂ = −2,
а нам нужно получить +2.
Что происходит при переполнении разряда?
Пусть в нём получилось 2. Пишем 0, а перенос должен удовлетворять равенству
2 = 0 + (−1)·(−2).
Значит, в следующий разряд нужно перенести −1.
Но и цифры −1 у нас нет. Если в некотором разряде получилось −1, то
−1 = 1 + 1·(−2).
Поэтому пишем 1, а дальше переносим уже +1.
Получаются два необычных правила:
2 → пишем 0, переносим −1;
−1 → пишем 1, переносим +1.
Именно они дают уже знакомую запись
1 + 1 = 110₋₂.
Теперь сложим
111₋₂ + 111₋₂.
Мы знаем, что это 3 + 3 = 6, но попробуем получить результат непосредственно по разрядам.
В первом разряде:
1 + 1 = 2.
Пишем 0, переносим −1.
Во втором:
1 + 1 − 1 = 1.
Пишем 1, переноса нет.
В третьем снова:
1 + 1 = 2.
Пишем 0, переносим −1.
Следующего разряда в исходных числах уже нет. Там оказалось −1, поэтому пишем 1 и переносим +1 ещё на один разряд.
Получаем
111₋₂ + 111₋₂ = 11010₋₂.
Проверка:
11010₋₂ = 16 − 8 − 2 = 6.
Внешне это всё ещё обычное сложение по разрядам. Но перенос теперь может быть как положительным, так и отрицательным.
Причина в том, что переход на один разряд влево означает умножение не на 2, а на −2.
Отрицательное основание меняет не только запись чисел, но и саму арифметику переноса.