Двоичная система на плоскости
Положим β = −1 + i. Тогда
β² = −2i,
β³ = 2 + 2i.
Следовательно,
(1100)ᵦ = β³ + β² = (2 + 2i) − 2i = 2.
Запись выглядит двоичной, но её разряды уже не лежат на числовой прямой.
Умножение на β делает сразу две вещи: увеличивает длину в √2 раз и поворачивает направление на 135°.
Поэтому последовательные веса
1, β, β², β³, …
можно представить как векторы разных длин и направлений.
И приписывание нуля справа теперь имеет геометрический смысл: оно поворачивает соответствующую точку на 135° и удаляет её от начала координат в √2 раз.
Например,
1 → 10ᵦ = −1+i → 100ᵦ = −2i → 1000ᵦ = 2+2i → 10000ᵦ = −4.
За четыре сдвига мы умножили число на
β⁴ = −4:
масштаб увеличился в 4 раза, а направление развернулось на 180°.
Но система умеет гораздо больше. Каждое гауссово целое
a+bi, a, b ∈ ℤ,
имеет единственную конечную запись без ведущих нулей цифрами 0 и 1 в системе с основанием −1+i.
Например,
11ᵦ = β+1 = i,
111ᵦ = β²+β+1 = −i,
1110ᵦ = β³+β²+β = 1+i.
Поскольку
2 = 1100ᵦ = β³+β²,
то если в каком-то разряде при сложении появилась цифра 2, её можно заменить двумя единицами в более старших разрядах:
2βⁿ = βⁿ⁺³+βⁿ⁺².
Например, в младшем разряде
1+1 = 1100ᵦ.
В обычной двоичной системе две единицы дают перенос на один разряд влево. Здесь они порождают сразу две единицы — через два и через три разряда.
Сложение остаётся поразрядным, но «перенос» уже совсем не похож на обычный.
Эту комплексную двоичную систему описал Уолтер Пенни в 1965 году.
Есть у неё и неожиданная геометрическая сторона. Рассмотрим все бесконечные дробные хвосты
0,a₁a₂a₃…ᵦ,
где каждая aₖ равна 0 или 1.
Если разрешать всё более длинные дробные хвосты из нулей и единиц, их значения заполняют фрактальную область twindragon — «двойной дракон». На гифке видно, как возникают её последовательные конечные приближения.
Получается, что одна и та же система одновременно задаёт арифметику гауссовых целых и фрактальную геометрию их дробных частей.
Ещё раньше, в 1960 году, Дональд Кнут предложил другую комплексную систему: с основанием 2i и цифрами 0, 1, 2, 3.
После комплексных чисел естественно спросить: нельзя ли тем же способом перейти к кватернионам?
В прямом аналоге системы Пенни — нельзя.
Любой кватернион можно записать как β = a + v,
где v — его векторная часть. Поскольку
v² = −|v|²,
любая степень β имеет вид A + Bv.
Значит, все числа
a₀ + a₁β + a₂β² + …
с обычными вещественными цифрами остаются в одной двумерной плоскости внутри четырёхмерного пространства кватернионов.
Одного кватернионного основания с вещественными цифрами недостаточно, чтобы охватить всё пространство.
Кватернионные системы счисления построить можно, но приходится усложнять саму конструкцию. Красивый трюк Пенни — одно основание и всего две обычные цифры — в четырёх измерениях уже не переносится напрямую.
Положим β = −1 + i. Тогда
β² = −2i,
β³ = 2 + 2i.
Следовательно,
(1100)ᵦ = β³ + β² = (2 + 2i) − 2i = 2.
Запись выглядит двоичной, но её разряды уже не лежат на числовой прямой.
Умножение на β делает сразу две вещи: увеличивает длину в √2 раз и поворачивает направление на 135°.
Поэтому последовательные веса
1, β, β², β³, …
можно представить как векторы разных длин и направлений.
И приписывание нуля справа теперь имеет геометрический смысл: оно поворачивает соответствующую точку на 135° и удаляет её от начала координат в √2 раз.
Например,
1 → 10ᵦ = −1+i → 100ᵦ = −2i → 1000ᵦ = 2+2i → 10000ᵦ = −4.
За четыре сдвига мы умножили число на
β⁴ = −4:
масштаб увеличился в 4 раза, а направление развернулось на 180°.
Но система умеет гораздо больше. Каждое гауссово целое
a+bi, a, b ∈ ℤ,
имеет единственную конечную запись без ведущих нулей цифрами 0 и 1 в системе с основанием −1+i.
Например,
11ᵦ = β+1 = i,
111ᵦ = β²+β+1 = −i,
1110ᵦ = β³+β²+β = 1+i.
Поскольку
2 = 1100ᵦ = β³+β²,
то если в каком-то разряде при сложении появилась цифра 2, её можно заменить двумя единицами в более старших разрядах:
2βⁿ = βⁿ⁺³+βⁿ⁺².
Например, в младшем разряде
1+1 = 1100ᵦ.
В обычной двоичной системе две единицы дают перенос на один разряд влево. Здесь они порождают сразу две единицы — через два и через три разряда.
Сложение остаётся поразрядным, но «перенос» уже совсем не похож на обычный.
Эту комплексную двоичную систему описал Уолтер Пенни в 1965 году.
Есть у неё и неожиданная геометрическая сторона. Рассмотрим все бесконечные дробные хвосты
0,a₁a₂a₃…ᵦ,
где каждая aₖ равна 0 или 1.
Если разрешать всё более длинные дробные хвосты из нулей и единиц, их значения заполняют фрактальную область twindragon — «двойной дракон». На гифке видно, как возникают её последовательные конечные приближения.
Получается, что одна и та же система одновременно задаёт арифметику гауссовых целых и фрактальную геометрию их дробных частей.
Ещё раньше, в 1960 году, Дональд Кнут предложил другую комплексную систему: с основанием 2i и цифрами 0, 1, 2, 3.
После комплексных чисел естественно спросить: нельзя ли тем же способом перейти к кватернионам?
В прямом аналоге системы Пенни — нельзя.
Любой кватернион можно записать как β = a + v,
где v — его векторная часть. Поскольку
v² = −|v|²,
любая степень β имеет вид A + Bv.
Значит, все числа
a₀ + a₁β + a₂β² + …
с обычными вещественными цифрами остаются в одной двумерной плоскости внутри четырёхмерного пространства кватернионов.
Одного кватернионного основания с вещественными цифрами недостаточно, чтобы охватить всё пространство.
Кватернионные системы счисления построить можно, но приходится усложнять саму конструкцию. Красивый трюк Пенни — одно основание и всего две обычные цифры — в четырёх измерениях уже не переносится напрямую.