Робинзон Крузо, волхвы и апостолы.

Или опыт рациональных реконструкций появления и развития денежных экономик

Политэкномист Артем Северский на своем канале предложил интересную и нетривиальную задачу, которая является первым шагом к серьезному разговору о деньгах. Я не мог пройти мимо.

Условия задачи

Робинзон Крузо стремится максимизировать свое удовольствие от потребления и досуга в течение бесконечного горизонта планирования. Он производит только один продукт (допустим, это рыба), который сам и потребляет. Важный нюанс в том, что производство этого продукта сопряжено с постоянными издержками, которые возникают только тогда, когда Робинзон принимает решение в конкретный день заняться производством этого продукта.

Продукт труда Робинзона скоропортящийся, но у него есть фантастическое устройство — волшебный "короб", который позволяет ему переносить продукт из одного дня в другой. Этот короб работает как банк, где ставка по заимствованию и сбережению совпадает с тем, как сам Робинзон оценивает ценность будущего будущего потребления относительно текущего. В терминах современной теории: ставка процента совпадает с его субъективной нормой дисконтирования. "Короб" подчиняется простому условию: в целом на всем горизонте Робинзон не может потребить больше, чем произвел.

В чем вопрос?

Поскольку Робинзону приходится нести фиксированные издержки каждый день, чтобы вообще что-то произвести, он может решить, что выгоднее полностью отказаться от работы в некоторые дни, чтобы избежать этих расходов. В эти "выходные" он будет жить за счет сбережений, накопленных в "коробе" в другие дни, когда он работает.

Нам предлагается ответить:

Как Робинзон будет чередовать работу и отдых? Будет ли он работать понемногу каждый день или предпочтет интенсивный труд в одни дни и отдых в другие? Сколько именно времени он посвятит работе в те дни, когда он работает?

На деле, задача нетривиальная. И вот почему: если использовать интуитивное, "учебниковое" решение (например, просто воспользоваться методом Лагранжа, чтобы решить задачу оптимизации в лоб) оно окажется неверным.

Причин здесь несколько.

Во-первых, чтобы произвести хоть что-то, Робинзон несет фиксированные издержки: по сути это то время, которое ему требуется, чтобы начать работать, но оно не приносит полезности от досуга и не занято производственным процессом. Это вполне реалистичное предположение, которое наблюдается на реальных рынках труда: чтобы приступить к выполнению рабочих задач, сотрудникам фирм приходится нести такие издержки, как время, затраченное на путь от дома до работы и обратно. И это, как минимум.

Из-за этого, если Робинзон решит работать каждый день (сглаженный режим), то тот же объем продукта, который он произвел бы при режиме, когда он какие-то дни работает, какие-то отдыхает (циклический режим), будет давать результат хуже.

Во-вторых, в задачу встроен магический "короб", который по сути является своего рода аналогом банковской системы. Из-за наличия такого механизма, Робинзону неважно, когда именно он произведет продукт. Поэтому он может сосредоточиться на минимизации суммарных постоянных издержек.

Но каким будет оптимальное решение?