сладко стянул

сегодня узнал что категорификация¹ бывает горизонтальной и вертикальной.

¹процесс, обратный к декатегорификации.

Горизонтальная «размножает объекты». Пример: группа — это группоид с одним объектом. Поэтому

группоид — это «группа на нескольких объектах».

Это и имеют в виду, когда говорят, что группоид — (горизонтальная) категорификация группы.

Алгеброиды (в т.ч. Хопфа) определяются аналогично; поэтому иногда предлагают называть горизонтальную категорификацию "оидификацией".

Моноидоиды принято называть категориями

аналогично, декартова подгруппа D=Ker(G*H -> GxH) свободна. Она индекса k = |G||H|, и m1=|D\ G*H / G| = |H|, m2=|G|. Отсюда, D имеет ранг 1-|G||H|+(|G||H|-|H|)+(|G||H|-|G|)
=(|G|-1)(|H|-1).

Более того, D порождается коммутаторами вида (g,h), где g∈G\{1}, h∈H\{1}.

Это можно увидеть и топологически: из расслоения Гани, гомотопический слой вложения BG v BH -> BG x BH — это G*H, джойн дискретных пространств (то есть, букет (|G|-1)(|H|-1) окружностей)

Это несложное упражнение на теорему Куроша.

Теорема (Курош'34) Если G — свободное произведение каких-то групп A_i, и H < G — подгруппа, то H — это свободное произведение
- какой-то свободной группы и
- нескольких групп вида H_k, где каждая H_k сопряжена (в G) какой-то подгруппе в какой-то A_i.

Как и у Нильсена—Шрайера, у Куроша есть топологическое доказательство. Пусть A_i = π1(X_i), где X_i связные клеточные. Тогда G = π1(X), где X — букет всех X_i. Можно считать, что у цветков букета длинные стебли, то есть из отмеченной точки видно букет отрезков.

Подгруппа H — фундаментальная группа какого-то накрытия E -> X. Прообраз каждого X_i в E — несвязное объединение каких-то накрытий над X_i. Если аккуратно стянуть в точку остовные деревья, то E превратится в букет чего-то одномерного и каких-то накрытий над X_i. Фундаментальная группа такой штуки — это букет свободной группы и каких-то подгрупп в A_i. Как мы в эти подгруппы пришли — хороший вопрос; ответив на него, можно понять, как именно мы эти подгруппы сопрягли.

https://arxiv.org/pdf/2409.18380
обзор "Укрощая большие категории" от Каледина (про то, как перестать бояться \kappa-достижимых категорий)

"This paper is dedicated to Sasha Anan'in [and] is a chapter of a general textbook on category theory that we hoped to write together, at some time, somewhere, in some other life"

"...Summarizing, one can phrase the moral of the story as follows: a category is «tame» if its Karoubi closure is accessible, and all categories that appear «in nature» are tame. The necessity of taking Karoubi closures is slightly unpleasant but this is a relatively small price to pay."

Пусть (X,*) — пространство с отмеченной точкой.
Толстый букет — это FW_n(X) = {(x1,...,xn) in X^n: xi=* для некоторого i}.
Имеем корасслоение
FW_n(X) -> X^n -> X∧...∧X.

Пишут cat(X) < n ("категория Люстерника—Шнирельмана пространства X меньше, чем n"), если диагональное вложение
X -Δ-> X^n
гомотопически пропускается через FW_n(X).

Ещё cup(X) ≤ cat(X), где cup(X) — длина наибольшего нетривиального произведения в когомологиях (в сильном смысле: с какими-либо коэффициентами). Например, если есть ненулевое произведение двух сомножителей, то cat(X)>1.

Пусть X n-мерно и (k-1)-связно. Из клеточной аппроксимации, cat(X) ≤ n/k. Первое препятствие выражается через фундаментальный класс X в когомологиях, поэтому вот что получается:
Теорема (Берштейн'76/Шварц'62) Если dim(X) = n и cup(X) < n/k, то cat(X) < n/k. (При n=2, k=1 это на самом деле Дранишников, Рудяк)

Обычно cup(X) ≤ cat(X) доказывают, используя определение cat(X) через покрытия (см. задачу 7а например), но можно и чуть по-другому. Вспомним гомотопическое определение умножения:
H^n(X;G)= [X, K(G,n)], а умножение
H^n(X;G1) ⊗ H^m(X;G2) -> H^{n+m}(X; G1⊗G2)
индуцировано отображением
K(G1,n)∧K(G2,m) -> K(G1⊗G2, n+m)
которое убивает старшие гомотопические группы. Поэтому cup(X) — это более-менее о том, тривиально ли отображение
X -Δ-> X^n -> X∧...∧X
на каких-либо когомологиях.

Следовательно, cup(X) ≤ wcat(X), где wcat — дебильная слабая версия LS-категория: пишут wcat(X) < n, если композиция X -Δ-> X^n -> X∧...∧X гомотопически тривиальна

P.S. Это поэтому умножение в когомологиях ко-H-пространств тривиально (X допускает такую структуру iff cat(X)

подробнее о законе сохранения уток см. Предложение 2.3 в https://www.mathnet.ru/rus/rm2266

4. Возвращаемся к простому. Это всё стартует с простой геометрической конструкции (с отображения a_n). Понял сейчас (послушав доклад Хорошкина), что её можно обобщить примерно так. Может, это уже изучается, а может идея и свежая.

Пусть Г — простой граф на n вершинах. Рассмотрим хроматическое конфигурационное пространство
Conf_Г(X) := {(x1,...,xn) ∈ X^n | x_i ≠ x_j для всех рёбер (i,j) графа Г}.
[Этим пространствам и связанным структурам посвящена вторая половина обзора Каллела https://arxiv.org/abs/2407.11092
а ещё недавняя статья Лыскова и Хорошкина, https://arxiv.org/abs/2509.21255 . Эта серия постов появилась, когда я задумался, "зачем эти пространства могут кому-то пригодиться"]

Например, если Г=K_n — полный граф, то Conf_Г(X) = Conf_n(X). А несвязное объединение переходит в произведение.

Что можно с помощью них изучать?

Рассмотрим, например, пространство
A={f: X ⊔ Y -> Z| f(X) и f(Y) не пересекаются}.
В теории узлов, например, изучаются "зацепления с точностью до узлов" — этому посвящена первая статья Милнора; вот тут какое-то далёкое обобщение.

Можно взять n точек в X, m точек в Y, и с помощью f изготовить из них n+m точек в Z. Более того, точки из X не попадут в точки из Y: так получается отображение
X^n x Y^m -> Conf_{K(m,n)}(Z),
где K(n,m) — полный двудольный граф на n+m вершинах.

Получаем (S_n×S_m-эквивариантную) стрелку
A -> Map(X^n x Y^m, Conf_{K(n,m)}(Z)).

Возможно, из таких стрелок (взятым по всевозможным n и m) можно изготовить что-то похожее на красивую науку как выше.

Ещё пример: можно изучать
B = {f: X ⊔ Y -> Z | f(X) и f(Y) не пересекаются, а X -> Z — вложение}.
Аналогично, получаем стрелки вида
B -> Map(Conf_n(X) x Y^m, Conf_Г(Z)),
где Г — объединение K(n,m) с полным графом на n вершинах.

Кстати, этот граф Г хордовый (любой цикл разбивается на треугольники), поэтому Conf_Г(Z) устроены несколько проще, чем в общем случае...

Как это можно обобщать на >2 компонент — думаю, понятно.