История 1. Представьте: на графике раскиданы несколько точек, и нужно провести через них одну функцию — так, чтобы она прошла ровно через каждую. Если точек n, хватит многочлена степени n−1: он гарантированно попадёт во все точки без исключения. Такое точное прохождение через каждую точку называется интерполяцией. Способ обобщил и довёл до формулы французский математик Жозеф Лагранж — конец XVIII века, компьютеров тогда не было вообще, всё руками.

Красиво? Да. Работает? Пока точек мало — вполне. Но добавьте их сотню — и начинается цирк: многочлен сотой степени пройдёт через каждую точку идеально, а между ними будет вытворять что-то невообразимое, чего в исходных данных и близко не было.

С похожей проблемой примерно двести лет назад столкнулись астрономы. В 1801 году открыли карликовую планету Цереру, понаблюдали за ней немного — и потеряли из виду, она скрылась за Солнцем. Данных мало, а предсказать, где она снова появится, очень хотелось. Молодой Карл Гаусс предложил не гнаться за точным совпадением с каждым наблюдением, а найти кривую, которая просто стоит близко ко всем сразу. Не интерполяция, а аппроксимация. Церера, кстати, нашлась именно там, где предсказали расчёты — а предсказание за пределами уже увиденных данных с тех пор называют экстраполяцией.

Но зачем вообще малевать многочлены? Мозг ведь не решает уравнения, когда вы отличаете кота от собаки на картинке. Как это тогда работает?