Работайте с периодами как с одним значением!

Когда у записи есть start_at и end_at, проверки пересечений быстро превращаются в набор сравнений. В PostgreSQL для этого есть range types: например, tstzrange для диапазона timestamptz.

Вместо:
WHERE start_at < :end_at
AND end_at > :start_at

можно явно работать с диапазонами:
WHERE tstzrange(start_at, end_at, '[)')
&& tstzrange(:start_at, :end_at, '[)')

Оператор && означает «диапазоны пересекаются». [) задаёт полуинтервал: начало включено, конец исключён, поэтому встреча до 12:00 и следующая с 12:00 не считаются пересекающимися.

Но интереснее то, что PostgreSQL умеет проверять диапазоны и другими операторами:
period @> now() -- содержит момент времени
period && :period -- пересекается
period