Бои ⚔️ первого дня завершены. Делимся условиями: сегодня было две геометрии в гранд-лиге.
Первая простенькая задачка была от авторов нашего канала, придуманная в вечер перед туром.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны соответственно точки 𝑋, 𝑌, 𝑍 так, что четырёхугольник 𝑋𝐴𝑌𝑍 является параллелограммом. Окружность, проходящая через 𝑌 и 𝑍 и касающаяся прямой 𝐵𝐶 в точке 𝑍, пересекает прямую 𝑋𝑌 в двух различных точках 𝑌 и 𝑇. Докажите, что точки 𝑇, 𝑌, 𝐶, 𝐵 лежат на одной окружности.
Вторая — от Чуйко Александра и Ячного Арсения.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 высоты 𝐴𝐴₁, 𝐵𝐵₁, 𝐶𝐶₁ пересекаются в точке 𝐻. Пусть 𝑋 — точка пересечения прямой 𝐵₁𝐶₁ с описанной окружностью треугольника 𝐴𝐻𝐶, лежащая вне треугольника 𝐴𝐵𝐶. Описанные окружности треугольников 𝑋𝐵₁𝐻 и 𝐴𝐻𝐵 вторично пересекаются в точке 𝑇, отличной от 𝐻. Докажите, что 𝑇 лежит на описанной окружности треугольника 𝐴₁𝐵₁𝐶₁.
Погода отличная, море бодрящее 🏖
Первая простенькая задачка была от авторов нашего канала, придуманная в вечер перед туром.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны соответственно точки 𝑋, 𝑌, 𝑍 так, что четырёхугольник 𝑋𝐴𝑌𝑍 является параллелограммом. Окружность, проходящая через 𝑌 и 𝑍 и касающаяся прямой 𝐵𝐶 в точке 𝑍, пересекает прямую 𝑋𝑌 в двух различных точках 𝑌 и 𝑇. Докажите, что точки 𝑇, 𝑌, 𝐶, 𝐵 лежат на одной окружности.
Вторая — от Чуйко Александра и Ячного Арсения.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 высоты 𝐴𝐴₁, 𝐵𝐵₁, 𝐶𝐶₁ пересекаются в точке 𝐻. Пусть 𝑋 — точка пересечения прямой 𝐵₁𝐶₁ с описанной окружностью треугольника 𝐴𝐻𝐶, лежащая вне треугольника 𝐴𝐵𝐶. Описанные окружности треугольников 𝑋𝐵₁𝐻 и 𝐴𝐻𝐵 вторично пересекаются в точке 𝑇, отличной от 𝐻. Докажите, что 𝑇 лежит на описанной окружности треугольника 𝐴₁𝐵₁𝐶₁.
Погода отличная, море бодрящее 🏖