Фулл и точка

#на_ночь_глядя

Публикуем условия базового тура Турнира Городов, который прошел вчера. В младших классах была вот такая геомка от Максима Волчкевича.

Задача. Диагонали параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. На его стороне 𝐵𝐶 взяли такую точку 𝑀, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝑀. Докажите, что отрезок 𝑂𝑀 равен половине стороны параллелограмма.

#ЮМТ #геом_разминка #medium #8

Заканчиваем обзор финалов турнира задачей Юниор-лиги

Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝐷, 𝐸 и 𝐹 лежат на сторонах 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 так, что 𝐵𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐴 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐹 = 𝐹𝐴. Прямые 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что ортоцентр треугольника 𝑃𝐸𝐹 лежит на прямой 𝐵𝐶.

#ЮМТ #геом_разминка #easy #7

Сегодня предлагаем посмотреть на простенькую задачку с финала Старт-лиги

Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены медианы 𝐵𝐵′ и 𝐶𝐶′, пересекающиеся в точке 𝑀. На отрезках 𝑀𝐵′ и 𝑀𝐶′ выбраны соответственно точки 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐴𝑀 = 𝐶𝑋 = 𝐵𝑌. Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐶 = ∠𝐵𝑌𝐶′ + ∠𝐶𝑋𝐵′.

#ЮМТ #геом_разминка #medium #9

На Южном турнире в боях за 5-7 место Гранд–лиги предлагалась вот такая геомка от авторов нашего канала

Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐼 — центр вписанной окружности. Биссектриса 𝐴𝐼 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐷, а описанную окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — в точке 𝑁 (отличной от 𝐴). На отрезке 𝐶𝑁 взята такая точка 𝐸, что 𝐸𝑁 = 𝐷𝑁. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐷𝐵 и 𝐴𝐼𝐶, пересекаются повторно в точке 𝐹. Докажите, что 𝐵𝐶 — биссектриса угла 𝐹𝐵𝐸.

#ЮМТ #красота_спасет_мир

Финал южного турнира подошел к концу. Первоначально в тур гранд-лиги вошел шедевр 🖼 от Владимира Конышева.

Задача. Окружность 𝜔 с центром 𝐼 вписана в неравнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и касается его сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 в точках 𝑇𝑎, 𝑇𝑏 и 𝑇𝑐 соответственно. Произвольная прямая ℓ проходит через 𝐼. Пусть 𝐾𝑎 — отражение 𝑇𝑎 относительно ℓ, а 𝜔𝑎 — окружность, касающаяся 𝜔 и проходящая через точки 𝐴 и 𝐾𝑎. Аналогично определим окружности 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐. Докажите, что существует окружность Γ, касающаяся окружностей 𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 (окружность Γ может иметь нулевой радиус).

После начала тура команда Летово сообщила, что ей знаком этот сюжет, более того, они помнят план решения обобщения задачи.

Обобщение состоит в том, что вместо точек 𝐾𝑎, 𝐾𝑏 и 𝐾𝑐 можно взять произвольные три точки на вписанной окружности так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках был перспективен треугольнику 𝑇𝑎𝑇𝑏𝑇𝑐.

В открытых источниках жюри нашло только формулировку обобщения задачи, без полного ее решения. Жюри обобщенную задачу решать не умеет. Будем рады услышать решение от команды Летово в комментариях👇

Тем не менее, задача была заменена на следующую за авторством Леонида Шатунова.

Задача. Положим 𝐷, 𝐸, 𝐹 — точки касания вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵. Пусть также 𝐼 — инцентр, 𝑀 — точка пересечения медиан. Отразим точки 𝐷, 𝐸, 𝐹 относительно прямой 𝐼𝑀 — получим точки 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′. Докажите, что изотомически сопряжённые прямые для 𝐴𝐷′, 𝐵𝐸′, 𝐶𝐹′ пересекаются на вписанной окружности.

Кроме того, в бою предлагалась интересная геометрия от Александра Петрашеня.

Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑋 и 𝑌 — проекции этой точки на стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Точки 𝑍 и 𝑇 выбраны на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑍 = 𝐵𝑋 и 𝐶𝑇 = 𝐴𝑌. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑀𝑍𝑇 лежит на прямой 𝑀𝐻, где 𝐻 — точка пересечения высот треугольника 𝐴𝐵𝐶.

#на_ночь_глядя #ЮМТ

Полуфинал турнира подошел к концу. У Дагестана и Долгопрудного состоялся очень напряженный поединок. Отвечая на вызов по геометрии докладчик команды Долгопрудного утверждал что задача неверна 😨. Делимся её условием. А что думаете вы?

Задача. Вневписанные окружности касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно. Пусть 𝐴𝑀 и 𝐴𝐿 — cоответственно медиана и биссектриса этого треугольника, а 𝐼 — центр вписанной в него окружности. Известно, что точки 𝑀, 𝐿, 𝐵₁ и 𝐶₁ лежат на одной окружности. Найдите все возможные значения 𝐴𝐼/𝐼𝐿.

Раунд по ней закончился со счетом 4:4. Вторая геометрия в этом бою полуфинала не сыграла.

Задача. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность Ω, пересекаются в точке 𝑃. Пусть 𝐶𝑏 и 𝐶𝑑 — точки, симметричные точке 𝐶 относительно прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно; аналогично, пусть 𝐴𝑏 и 𝐴𝑑 — точки, симметричные точке 𝐴 относительно прямых 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Касательная к Ω в точке 𝐶 пересекает прямую 𝐶𝑏𝐶𝑑 в точке 𝐶′, а касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐴𝑏𝐴𝑑 в точке 𝐴′. Докажите, что прямая 𝐴′𝐶′ проходит через 𝑃.

В итоге матбой Долгопрудного и Дагестана завершился со счетом 22:22 — ничья. Финалист опредился в блице: с разницей в один балл выиграла команда Долгопрудного.

Уже завтра определится победитель 🏆 турнира.

Подошел к концу третий тур боев. Сегодня было две геометрии, первая из которых — авторская от Владимира Конышева.

Задача. Диагонали трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑂. На прямой 𝐵𝐶 отмечена точка 𝑅 такая, что 𝑅𝐴 = 𝑅𝐷. На прямой 𝐴𝐷 отмечена точка 𝑆 такая, что 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑂 и 𝐶𝐷𝑂, пересекаются в точке 𝐾 (отличной от 𝑂). Докажите, что точка 𝐾 лежит на прямой 𝑅𝑆.

Задача. Пусть 𝐺 — точка пересечения медиан остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, а 𝑃 — точка на меньшей дуге 𝐵𝐶 его описанной окружности. Из точки 𝑃 опустили перпендикуляр 𝑃𝑄 на сторону 𝐵𝐶. Точка 𝑋 выбрана на прямой 𝐺𝑄 так, что 𝐴𝑋 ‖ 𝐵𝐶. Точка 𝑆 — середина отрезка 𝑃𝑋. Докажите, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑆𝐴𝐶.

Уже завтра состоятся полуфинальные матчи, желаем участникам удачи 🍀

P. S. В комментах можно увидеть, как проходил один из поединков.