Геометрическая теория узлов
Мыслитель Вадим Руднев в своей книге "Странные объекты" сообщает, среди прочего, три ключевых тезиса:
— Странный объект в узком смысле это скорее пара объектов, взаимодействующих как части одной Заводной игрушки — вы смотрите на фотографию, но фотография смотрит на вас.
— Странные объекты — фрагментированные объекты, а странные факты — фрагментированные факты.
— Реальность — это ошибка. И если теория не соответствует реальности, «тем хуже для реальности».
Мы не можем утверждать, какой именно посыл пытался донести нам Вадим Руднев своим замечательным текстом, однако сложно не отметить, что маломерная топология в целом и теория узлов в частности слегка похожи на науку о странных объектах.
Наших объектов исследования, конечно, ни в каком разумном смысле не существует, однако единственный продуктивный способ взаимодействия с ними — не только представить, будто бы они есть на самом деле, но и нескончаемо эксплуатировать свои предчувствия об их воображаемой реальности. Процесс этой инициации всегда сопровождается обнаружением неприличного числа очевидных фактов, реальный статус которых совершенно непредсказуем, и такого же числа совершенно неочевидных фактов, для которых непредсказуемым оказывается уже само их наличие.
Это первая часть предполагаемого курса по геометрической теории узлов, в процессе которого мы попробуем посмотреть на то, чего не только быть не может, но и, в общем-то, не должно.
Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 17 часов)
Программа
1. Обзор на маломерную топологию.
2. Тонкости определений. Теорема Александера о замыкании.
3. Введение в теорию локальных преобразований.
4. Алгоритм Зейферта.
5. Калькулус вложенных поверхностей. Аддитивность рода.
6. Трюк Александера. Мошенничество Мазура — Эйленберга.
7. Пять классов симметрий. Теорема Райдемастера. Комбинаторный коэффициент зацепления.
8. Матрица Зейферта.
9. Дополнение узла. Копредставление Виртингера. Гомологический коэффициент зацепления. Лемма Кайла Миллера.
10. Критерий S-эквивалентности поверхностей Зейферта.
11. Детерминант. Сигнатура. Критерий Эндрю Путмана о представимости гомологического класса простой замкнутой кривой.
Литература
▪️P. Cromwell. Knots and links. Cambridge university press, 2004.
▪️D. Rolfsen. Knots and links. Vol. 346. American Mathematical Soc., 2003.
▪️В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. Москва: МЦНМО, 1997.
▪️Bar-Natan, Dror, Jason Fulman, Louis H. Kauffman. An elementary proof that all spanning surfaces of a link are tube-equivalent. Journal of Knot Theory and its Ramifications 7 (1998): 873-880.
▪️A. Putman, Realizing homology classes by simple closed curves.
Пререквизиты
Знакомство с началами теории топологических многообразий.
Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка
Мыслитель Вадим Руднев в своей книге "Странные объекты" сообщает, среди прочего, три ключевых тезиса:
— Странный объект в узком смысле это скорее пара объектов, взаимодействующих как части одной Заводной игрушки — вы смотрите на фотографию, но фотография смотрит на вас.
— Странные объекты — фрагментированные объекты, а странные факты — фрагментированные факты.
— Реальность — это ошибка. И если теория не соответствует реальности, «тем хуже для реальности».
Мы не можем утверждать, какой именно посыл пытался донести нам Вадим Руднев своим замечательным текстом, однако сложно не отметить, что маломерная топология в целом и теория узлов в частности слегка похожи на науку о странных объектах.
Наших объектов исследования, конечно, ни в каком разумном смысле не существует, однако единственный продуктивный способ взаимодействия с ними — не только представить, будто бы они есть на самом деле, но и нескончаемо эксплуатировать свои предчувствия об их воображаемой реальности. Процесс этой инициации всегда сопровождается обнаружением неприличного числа очевидных фактов, реальный статус которых совершенно непредсказуем, и такого же числа совершенно неочевидных фактов, для которых непредсказуемым оказывается уже само их наличие.
Это первая часть предполагаемого курса по геометрической теории узлов, в процессе которого мы попробуем посмотреть на то, чего не только быть не может, но и, в общем-то, не должно.
Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 17 часов)
Программа
1. Обзор на маломерную топологию.
2. Тонкости определений. Теорема Александера о замыкании.
3. Введение в теорию локальных преобразований.
4. Алгоритм Зейферта.
5. Калькулус вложенных поверхностей. Аддитивность рода.
6. Трюк Александера. Мошенничество Мазура — Эйленберга.
7. Пять классов симметрий. Теорема Райдемастера. Комбинаторный коэффициент зацепления.
8. Матрица Зейферта.
9. Дополнение узла. Копредставление Виртингера. Гомологический коэффициент зацепления. Лемма Кайла Миллера.
10. Критерий S-эквивалентности поверхностей Зейферта.
11. Детерминант. Сигнатура. Критерий Эндрю Путмана о представимости гомологического класса простой замкнутой кривой.
Литература
▪️P. Cromwell. Knots and links. Cambridge university press, 2004.
▪️D. Rolfsen. Knots and links. Vol. 346. American Mathematical Soc., 2003.
▪️В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. Москва: МЦНМО, 1997.
▪️Bar-Natan, Dror, Jason Fulman, Louis H. Kauffman. An elementary proof that all spanning surfaces of a link are tube-equivalent. Journal of Knot Theory and its Ramifications 7 (1998): 873-880.
▪️A. Putman, Realizing homology classes by simple closed curves.
Пререквизиты
Знакомство с началами теории топологических многообразий.
Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка