Законы арксинуса
Кажется естественным, что в длинной честной игре сумма должна примерно половину времени быть положительной.
Но это неверно.
Если игра очень длинная, а шаги сделать маленькими, получится броуновское движение — непрерывный предел случайного блуждания.
Для него Поль Леви доказал три закона арксинуса.
Первый закон отвечает именно на вопрос из опроса.
Пусть A — доля времени на отрезке [0; 1], в течение которого броуновская траектория была выше нуля.
Тогда
P(A≤x) = 2/π · arcsin√x.
Это не нормальное распределение и не распределение, сосредоточенное около 1/2.
Его плотность равна 1/(π√(x(1−x))).
Она растёт у краёв 0 и 1. Поэтому крайние случаи встречаются часто.
Например,
P(A0,9) ≈ 0,205.
Значит,
P(A0,9) ≈ 0,41.
А вероятность провести в плюсе от 40% до 60% времени равна
2/π · (arcsin√0,6 − arcsin√0,4) ≈ 0,13.
То есть для длинной честной игры гораздо вероятнее провести почти всё время по одну сторону от нуля, чем выглядеть «примерно поровну».
У Леви есть ещё два закона арксинуса.
Та же самая формула описывает:
момент последнего возвращения траектории в ноль;
момент, когда траектория достигает своего максимума на отрезке [0; 1].
Во всех трёх случаях распределение одно и то же:
2/π · arcsin√x.
Это неожиданно, потому что вопросы разные.
Сколько времени траектория была выше нуля?
Когда она в последний раз была в нуле?
Когда она достигла максимума?
Но ответ задаётся одной и той же функцией арксинуса.
Так что «честная игра» означает только отсутствие сдвига в среднем.
Она не обязана выглядеть симметричной на каждом длинном промежутке наблюдения.
График честной игры часто долго держится по одну сторону от нуля. Поэтому визуально он может казаться «нечестным», хотя математически никакого преимущества у плюса или минуса нет.
Кажется естественным, что в длинной честной игре сумма должна примерно половину времени быть положительной.
Но это неверно.
Если игра очень длинная, а шаги сделать маленькими, получится броуновское движение — непрерывный предел случайного блуждания.
Для него Поль Леви доказал три закона арксинуса.
Первый закон отвечает именно на вопрос из опроса.
Пусть A — доля времени на отрезке [0; 1], в течение которого броуновская траектория была выше нуля.
Тогда
P(A≤x) = 2/π · arcsin√x.
Это не нормальное распределение и не распределение, сосредоточенное около 1/2.
Его плотность равна 1/(π√(x(1−x))).
Она растёт у краёв 0 и 1. Поэтому крайние случаи встречаются часто.
Например,
P(A0,9) ≈ 0,205.
Значит,
P(A0,9) ≈ 0,41.
А вероятность провести в плюсе от 40% до 60% времени равна
2/π · (arcsin√0,6 − arcsin√0,4) ≈ 0,13.
То есть для длинной честной игры гораздо вероятнее провести почти всё время по одну сторону от нуля, чем выглядеть «примерно поровну».
У Леви есть ещё два закона арксинуса.
Та же самая формула описывает:
момент последнего возвращения траектории в ноль;
момент, когда траектория достигает своего максимума на отрезке [0; 1].
Во всех трёх случаях распределение одно и то же:
2/π · arcsin√x.
Это неожиданно, потому что вопросы разные.
Сколько времени траектория была выше нуля?
Когда она в последний раз была в нуле?
Когда она достигла максимума?
Но ответ задаётся одной и той же функцией арксинуса.
Так что «честная игра» означает только отсутствие сдвига в среднем.
Она не обязана выглядеть симметричной на каждом длинном промежутке наблюдения.
График честной игры часто долго держится по одну сторону от нуля. Поэтому визуально он может казаться «нечестным», хотя математически никакого преимущества у плюса или минуса нет.