Математическая эссенция

Два фотона

Масса каждого фотона равна нулю. Откуда же у пары может взяться ненулевая масса?
Здесь обнаруживается важное отличие от классической физики: сумма масс отдельных частиц не обязана сохраняться. В теории относительности фундаментальными законами являются сохранение энергии и импульса всей замкнутой системы.
Это различие можно увидеть на совершенно реальном примере. Нейтральный пион π⁰ — частица с ненулевой массой — обычно распадается на два фотона.
Рассмотрим такой распад в системе отсчёта, где пион до распада покоился. Его импульс равен нулю, а энергия равна Mc², где M — масса пиона.
После распада два фотона одинаковой энергии E разлетаются в противоположных направлениях. Их импульсы взаимно уничтожаются, поэтому полный импульс системы по-прежнему равен нулю. А полная энергия равна 2E.
Значит, M = 2E/c².
До распада масса одной частицы была равна M. После распада массы обоих фотонов равны нулю, но масса всей системы из двух фотонов по-прежнему равна M.
Именно массу всей системы мы ищем. Точнее, это её инвариантная масса. Для пары встречных фотонов существует система отсчёта с нулевым суммарным импульсом, и в ней масса системы равна её полной энергии, делённой на c².
Получается, масса системы не равна сумме масс её частей. Она учитывает также энергию движения и взаимное направление импульсов.
Поэтому сумма масс покоя частиц может изменяться. Энергия покоя исходной частицы может перейти в энергию движения или излучения продуктов распада — и наоборот.
В обычных химических и механических процессах соответствующие изменения массы чрезвычайно малы, и закон сохранения массы работает как прекрасное приближение. Но в ядерной физике и физике частиц сохранять нужно полные энергию и импульс.
Теперь посмотрим, как из энергии и импульса вычисляется масса системы.
В релятивистской механике энергия и импульс объединяются в один вектор P = (E/c; p).
Для простоты будем рассматривать движение по одной прямой.
Квадрат этого вектора в геометрии пространства-времени определяется не как сумма квадратов, а как их разность:
P² = (E/c)² − p².
Это та же геометрия, которая уже появлялась в пространстве-времени:
c²t² − x².
Преобразования Лоренца меняют энергию и импульс, но сохраняют величину P².
Что означает эта неизменная величина?
Если существует система отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю, то полная энергия в ней равна Mc², поэтому
P² = (Mc²/c)² = M²c².
Отсюда
M²c⁴ = E² − p²c².
Здесь E и p — уже полная энергия и полный импульс всей системы.
На примере распада пиона мы увидели, почему ненулевая масса пары не нарушает законов сохранения. Теперь вычислим эту массу непосредственно из геометрии энергии и импульса.
Для фотона масса равна нулю, поэтому его вектор энергии-импульса имеет нулевую длину:
(E/c)² − p² = 0.
Следовательно,
p = E/c.
Пусть первый фотон летит вправо, а второй — влево. Их векторы имеют вид
P₁ = (E/c; E/c),
P₂ = (E/c; −E/c).
У каждого из них квадрат длины равен нулю:
(E/c)² − (E/c)² = 0.
Сложим эти векторы:
P₁ + P₂ = (2E/c; 0).
Импульсы уничтожились, а энергии сложились. Квадрат длины суммы теперь равен
(2E/c)² − 0² = 4E²/c².
Значит, M²c² = 4E²/c²,
откуда M = 2E/c².
У отдельного фотона нет системы покоя: невозможно догнать его и увидеть неподвижным. А у пары встречных фотонов такая система есть — именно в ней их импульсы взаимно уничтожаются.
Если же два таких же фотона летят в одну сторону, то
P₁ + P₂ = (2E/c; 2E/c),
и длина суммы снова равна нулю. Масса такой системы равна нулю.
Получается, масса пары зависит не только от энергий фотонов, но и от направлений их движения.
За этим физическим результатом стоит необычный геометрический факт. В евклидовой геометрии ненулевого вектора нулевой длины не бывает. В геометрии пространства-времени такие векторы есть — и сумма двух векторов нулевой длины может иметь ненулевую длину.
Поэтому два безмассовых фотона могут вместе образовать систему с массой.

Часы на второй станции

Пусть станции A и B неподвижны друг относительно друга, а расстояние между ними равно L. Со станции A посылают световой сигнал к B, там он отражается и возвращается обратно. По часам на станции A весь путь занимает 2L/c.
Обычно мы говорим: туда свет шёл со скоростью c и обратно тоже со скоростью c.
Но пара скоростей 2c и 2c/3 даёт точно такое же общее время:
L/(2c) + L/(2c/3) = 2L/c.
Значит, опыт с одними часами на станции A не позволяет узнать отдельно время пути туда и время пути обратно. Чтобы измерить скорость только в одну сторону, нужны часы и на A, и на B. А значит, эти часы сначала надо синхронизировать.
Здесь и появляется свобода.
Пусть t — обычное время, при котором скорость света в обе стороны равна c, а x — координата, причём станция A находится в точке x = 0. Заменим показания удалённых часов по правилу
T = t − κx/c,
где −1 < κ < 1.
На станции A ничего не изменится: там x = 0, поэтому T = t. А часы на станции B, где x = L, будут отставать от прежних на κL/c.
Для света, идущего от A к B, выполняется x = ct. Поэтому
T = t − κt = (1 − κ)t,
и его скорость, вычисленная по новым часам, равна
c₊ = c/(1 − κ).
Для света, идущего обратно, аналогично получаем
c₋ = c/(1 + κ).
При κ = ½:
c₊ = 2c, c₋ = 2c/3.
Например, пусть расстояние между станциями равно одной световой секунде. Сигнал отправляют с A в момент T = 0. На часах B в момент его прихода будет всего 0,5 секунды: отсюда скорость 2c.
После отражения сигнал вернётся на A в момент T = 2 секунды. По показаниям часов на двух станциях обратный путь занял 1,5 секунды, поэтому его скорость равна 2c/3.
При этом время полного пути осталось прежним:
L/c₊ + L/c₋
= L(1 − κ)/c + L(1 + κ)/c
= 2L/c.
Никакой сигнал физически не стал быстрее света. Наблюдатель, измеряющий скорость света рядом с собой одними часами, по-прежнему получит c. Изменилось только то, какие события в разных точках мы считаем одновременными.
Геометрически замена t на T наклоняет линии одновременности на диаграмме пространства-времени. Сами события и траектории световых лучей остаются прежними — меняется координатная сетка.
Поэтому односторонняя скорость света зависит от способа синхронизации удалённых часов. А скорость света на замкнутом пути измеряется одними часами и от этой договорённости не зависит.

Вернёмся ещё к нескольким задачам теории относительности. Их ответы часто противоречат привычной интуиции, но становятся естественными, если смотреть на пространство, время, скорости, энергию и импульс через единый геометрический язык.

Задача (Г. Э. Дьюдени).
У семи торговок было соответственно 20, 40, 60, 80, 100, 120 и 140 яблок. Они пришли на рынок и продали все свои яблоки, соблюдая два строгих правила:
1) Цены на яблоки на рынке в любое время в течение дня были у всех абсолютно одинаковыми.
2) Каждая из семи торговок в итоге выручила одну и ту же сумму денег.
Как это могло получиться?
 
Решение  по ссылке.

Задача.
В корзине лежат 13 яблок. Весы позволяют узнать суммарный вес любых двух яблок. Какое наименьшее число взвешиваний требуется, чтобы узнать общий вес всех яблок?
 
Решение  по ссылке.

Задача (А.В. Шаповалов).
На столе лежат 6 яблок, не обязательно одинакового веса. Таня разложила их по 3 на две чаши весов, и весы оказались в равновесии. Саша разложил те же яблоки иначе: 2 на одну чашу и 4 на другую, и весы снова оказались в равновесии.
Докажите, что можно положить на одну чашу одно яблоко, а на другую — два так, чтобы весы опять оказались в равновесии.
 
Решение  по ссылке.

Календарь и новостная лента в эти дни довольно настойчиво предлагают одну и ту же тему. Поэтому сегодня — несколько задач про яблоки.
 
 
Задача (Я.И. Перельман)
Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и ещё пол-яблока, второму — половину оставшихся и ещё пол-яблока, третьему — половину оставшихся и ещё пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось.
Сколько яблок было у садовника?
 
Решение  по ссылке.

Две дороги между встречами

Если тело движется со скоростью v, то его собственное время τ связано с земным временем t соотношением
τ = t√(1 − v²/c²).
Для одного участка пути:
τ = 5√(1 − 0,6²) = 4 года.
Туда и обратно — 8 лет.
Но здесь есть более интересный способ увидеть тот же ответ.
За один участок корабль перемещается на 3 световых года за 5 земных лет. Время, прошедшее на корабле, равно
√(5² − 3²) = 4 года.
Да, получился египетский треугольник 3–4–5, только теорема Пифагора работает не как
5² = 4² + 3², а как
4² = 5² − 3².
Числа те же, но геометрия другая.
В обычной геометрии длина отрезка на плоскости равна
√(x² + y²).
В пространстве-времени собственное время между двумя событиями определяется выражением
τ = √(t² − x²/c²).
Из-за знака минус привычное неравенство треугольника как будто переворачивается.
Корабль движется от первого события — старта — ко второму, развороту, а затем к третьему — возвращению. На двух участках его собственное время равно
4 + 4 = 8 лет.
Земля между теми же событиями старта и возвращения никуда не перемещается, поэтому её собственное время равно
√(10² − 0²) = 10 лет.
Получается
4 + 4 < 10.
Ломаная мировая линия оказалась короче прямой.
Это, конечно, не особенность удачно выбранных чисел. Пусть тело движется в течение времени t₁ с координатной скоростью v₁, а затем в течение времени t₂ с координатной скоростью v₂. Скорости здесь берутся со знаками: движение в обратную сторону соответствует отрицательной скорости.
На его часах пройдёт
τ = t₁f(v₁) + t₂f(v₂),
где
f(v) = √(1 − v²/c²).
Эта функция вогнута:
f″(v) < 0.
По неравенству Йенсена
t₁f(v₁) + t₂f(v₂) ≤
(t₁ + t₂)f((t₁v₁ + t₂v₂)/(t₁ + t₂)).
Дробь в правой части — средняя скорость на всём пути. Значит, справа стоит время, которое прошло бы при равномерном прямолинейном движении между теми же двумя событиями.
Итак, между двумя фиксированными событиями в плоском пространстве-времени прямая мировая линия даёт не наименьшее, а наибольшее собственное время.
Поэтому дело не в том, что ускорение само по себе «замедляет часы». Разворот нужен, чтобы перейти с одного прямолинейного участка на другой. Меньше времени набирает именно непрямая мировая линия.
В обычной геометрии тот, кто идёт напрямик, проходит меньше.
В пространстве-времени тот, кто не сворачивает, стареет больше.

Встречный курс

Пусть в системе отсчёта Земли один корабль летит вправо со скоростью 0,8c, а другой — влево с такой же скоростью. За одну секунду расстояние между ними уменьшается на
0,8c + 0,8c = 1,6c.
Значит, в системе отсчёта Земли скорость их сближения равна 1,6c.
Противоречия с теорией относительности здесь нет. Число 1,6c — не скорость одного корабля в системе отсчёта другого. Это скорость, с которой уменьшается расстояние между ними по земным часам.
если источник испускает два световых луча в противоположных направлениях, то в системе отсчёта источника расстояние между фронтами лучей увеличивается со скоростью 2c. Но каждый луч по-прежнему движется со скоростью c.
В опросе спрашивалось другое: какую скорость одного корабля измерит наблюдатель на другом корабле?
Для этого обычное сложение уже не подходит. Если u и v — модули скоростей двух тел, движущихся навстречу друг другу, то скорость одного тела относительно другого равна
w = (u + v)/(1 + uv/c²).
Поэтому
w = (0,8c + 0,8c)/(1 + 0,8·0,8) = 40c/41.
Почему закон сложения скоростей устроен такой странной дробью?
Будем измерять скорости в долях скорости света. Пусть:
β₁ = v₁/c,  β₂ = v₂/c,
где v₁ и v₂ — модули скоростей двух тел. Скорость одного тела относительно другого тоже выразим в долях c и обозначим через  β₁₂. Тогда
β₁₂ = (β₁ + β₂)/(1 + β₁β₂).
Теперь введём вспомогательную величину
q = (1 + β)/(1 − β).
Для трёх скоростей получаем:
q₁ = (1 + β₁)/(1 − β₁),
q₂ = (1 + β₂)/(1 − β₂),
q₁₂ = (1 + β₁₂)/(1 − β₁₂).
Подставим формулу для β₁₂:
q₁₂ = [1 + (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)] / [1 − (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)].
После упрощения:
q₁₂ = (1+β₁β₂+β₁+β₂)/(1+β₁β₂−β₁−β₂).
Числитель и знаменатель раскладываются на множители:
q₁₂ = (1+β₁)(1+β₂)/((1−β₁)(1−β₂)).
Значит, q₁₂ = q₁q₂.
Итак, сами скорости складываются по дробной формуле, а соответствующие им числа q при этом просто перемножаются.
Остаётся превратить умножение в сложение. Для этого нужен логарифм. Введём величину
φ = ½ ln q = ½ ln((1 + β)/(1 − β)).
Она называется быстротой.
Поскольку q₁₂ = q₁q₂, получаем
φ₁₂ = ½ ln(q₁q₂) = ½ ln q₁ + ½ ln q₂ = φ₁ + φ₂.
Получается, что скорости складываются сложно, а быстроты — обычным образом.
Это не просто удобная замена переменной. Из определения быстроты можно выразить скорость:
β = (e^(2φ) − 1)/(e^(2φ) + 1) = th φ.
В обычной геометрии поворот сохраняет величину x² + y², а последовательным поворотам соответствует сложение углов. Преобразования Лоренца устроены похоже, только они сохраняют величину c²t² − x². Их можно рассматривать как гиперболические повороты, а быстрота φ играет роль гиперболического угла.
Поэтому быстроты складываются по той же причине, по которой складываются углы последовательных поворотов.
При этом th φ при любом конечном φ остаётся между −1 и 1. Значит, соответствующая скорость βc всегда меньше c. Скорости света отвечала бы бесконечная быстрота.

Случайный человек или случайный друг

Представим очень простую социальную сеть.
Есть один человек, который дружит со всеми остальными 100 людьми.
А каждый из этих 100 людей дружит только с ним.
Получается сеть-звезда.
У центрального человека 100 друзей.
У каждого из остальных — по 1 другу.
Сколько друзей у случайного человека в такой сети?
Среднее равно
(100+100·1)/101 ≈ 1,98.
То есть случайный человек имеет в среднем около 2 друзей.
Теперь выберем не случайного человека, а случайного друга.
Иначе говоря, выберем случайную дружескую связь и посмотрим на один из её концов.
Тогда центральный человек попадётся очень часто: к нему ведут 100 связей.
Каждый из остальных попадётся только по одной связи.
Среднее число друзей в такой выборке равно
(100²+100·1²)/(100+100)=50,5.
Получается резкий разрыв:
случайный человек имеет в среднем около 2 друзей;
случайный друг имеет в среднем 50,5 друзей.
Такой вот парадокс дружбы.
Он возникает не из-за психологии, а из-за способа выбора.
Если выбирать людей напрямую, каждый человек имеет одинаковый вес.
Если выбирать людей через дружеские связи, человек с k друзьями попадает в выборку в k раз чаще.
Поэтому более связные люди автоматически пере представлены.
В общем виде это записывается так.
Пусть D — число друзей у случайного человека.
Среднее число друзей у случайного человека равно
E(D).
А среднее число друзей у случайного друга равно
E(D²)/E(D).
Квадрат появляется потому, что человек с k друзьями имеет значение k и одновременно попадает в выборку в k раз чаще.
Так как E(D²) ≥ E(D)²,
получаем E(D²)/E(D) ≥ E(D).
Если число друзей не у всех одинаковое, неравенство строгое.
Поэтому средний друг имеет больше друзей, чем средний человек.
Популярная фраза «у большинства людей их друзья популярнее их самих» — более сильная версия этого эффекта. Она часто верна в реальных сетях, но универсальная математическая формулировка именно такая:
средний друг популярнее среднего человека.
Та же ошибка возникает в любой выборке, где мы выбираем объект не напрямую, а через его связи или появления.
Случайный ученик чаще окажется в большом классе.
Случайный пассажир чаще окажется в загруженном автобусе.
Случайная ссылка чаще приведёт на популярную страницу.
Это выборка, смещённая размером.
Чем больше у объекта связей, мест или появлений, тем чаще он попадает в наблюдение.

Урна Пойи

В урне лежат 1 белый и 1 чёрный шар.
Повторяем один и тот же опыт:
достаём случайный шар;
возвращаем его обратно;
добавляем ещё один шар того же цвета.
Если достали белый, белых стало на один больше.
Если достали чёрный, чёрных стало на один больше.
На первый взгляд модель полностью симметрична. Поэтому хочется ожидать, что доля белых шаров со временем должна стремиться к 1/2.
Но это неверно.
Урна Пойи устроена иначе: ранняя случайность не сглаживается, а закрепляется.
Посмотрим на точный расчёт.
Пусть сделано n добавлений. Тогда всего в урне n+2 шара.
Пусть за это время было добавлено k белых шаров. Тогда белых шаров стало k+1, а чёрных — n−k+1.
Оказывается, для любого k = 0, 1, ..., n
P(добавлено ровно k белых)=1/(n+1).
То есть после n шагов все варианты
0, 1, 2, ..., n
для числа добавленных белых шаров равновероятны.
Это можно проверить индукцией.
После n шагов пусть каждое значение k имеет вероятность 1/(n+1).
После следующего шага получить k белых добавлений можно двумя способами:
уже было k, и достали чёрный шар;
или было k−1, и достали белый шар.
В первом случае вероятность достать чёрный равна
(n−k+1)/(n+2).
Во втором случае вероятность достать белый равна
k/(n+2).
Поэтому
Pₙ₊₁(k) = 1/(n+1)·(n−k+1)/(n+2) + 1/(n+1)·k/(n+2).
Складываем:
Pₙ₊₁(k) = 1/(n+1)·(n+1)/(n+2) = 1/(n+2).
Равномерность сохраняется.
Значит, после большого числа шагов доля белых шаров не обязана быть близка к ½ .
Более того, в пределе она стремится к случайному числу на отрезке [0; 1], и при начальной урне 1 белый, 1 чёрный этот предел распределён равномерно.
Например, вероятность того, что предельная доля белых окажется между 0,4 и 0,6, равна 0,2.
Вероятность оказаться между 0 и 0,2 тоже равна 0,2.
И вероятность оказаться между 0,8 и 1 тоже равна 0,2.
Симметрия здесь означает не сходимость к половине.
Она означает, что заранее ни один итоговый уровень не имеет преимущества.
Это модель с положительной обратной связью: чем больше белых шаров уже накопилось, тем выше шанс снова достать белый; чем больше чёрных, тем выше шанс снова достать чёрный.
Поэтому случайное раннее преимущество может закрепиться. Так появляется «случайный лидер».
Два варианта стартуют почти одинаково. Первый небольшой перевес может возникнуть случайно. Но дальше сам механизм выбора начинает этот перевес поддерживать.
Модель наглядно объясняет процессы «самоусиления», когда начальный успех увеличивает шансы на последующий успех — принцип «богатые богатеют».
Похожая логика есть в моделях популярности: статью чаще цитируют, если её уже часто цитировали; товар чаще выбирают, если его уже многие выбрали; страницу чаще открывают, если она уже поднялась выше в выдаче; участника сети чаще замечают, если у него уже много связей.
Конечно, реальные системы сложнее урны Пойи. Но основной механизм тот же:
вероятность нового выбора зависит от уже накопленного результата.
В обычном усреднении случайные колебания со временем уменьшаются. А в урне Пойи они могут стать частью будущих правил игры.

Почему электричество знает, вернётся ли пьяница

В теореме Пойи случайное блуждание ведёт себя по-разному в разных размерностях.
На прямой и на плоскости точка почти наверняка когда-нибудь вернётся в начало.
В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1.
Ту же границу можно увидеть без вероятностей — через электрическую сеть.
Заменим каждое ребро решётки резистором сопротивления 1 Ом.
Теперь спросим: каково сопротивление от начальной точки до бесконечности?
Оказывается, здесь работает правило:
если сопротивление до бесконечности бесконечно, случайное блуждание возвратно;
если сопротивление конечно, есть положительная вероятность уйти и не вернуться.
На прямой всё очевидно. Чтобы уйти к бесконечности, ток должен пройти через бесконечную цепочку резисторов, соединённых последовательно:
1 + 1 + 1 + ... = ∞.
Сопротивление бесконечно. Поэтому одномерное блуждание возвращается.
На плоскости ситуация не такая очевидная.
Ток может растекаться во все стороны. Но посмотрим на квадратные «слои» вокруг начала.
На расстоянии порядка r от начала слой имеет длину порядка r. Значит, через этот слой есть порядка r параллельных путей.
Если r одинаковых резисторов соединены параллельно, их общее сопротивление имеет порядок 1/r.
Чтобы уйти на бесконечность, нужно пройти все слои:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....
Это гармонический ряд, он расходится.
Значит, сопротивление плоской решётки до бесконечности тоже бесконечно.
Поэтому случайное блуждание на плоскости возвращается почти наверняка.
Но это уже пограничный случай: сопротивление растёт очень медленно, как гармонический ряд.
В трёхмерном пространстве слой радиуса r имеет уже не длину, а площадь порядка r².
Значит, параллельных проходов через слой порядка r², а сопротивление слоя имеет порядок 1/r².
Общее сопротивление до бесконечности ведёт себя как
1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ....
Этот ряд сходится; более того, его сумма равна π²/6. Точное сопротивление решётки не равно этой сумме, но для вопроса о возвратности важен сам факт сходимости.
Поэтому в трёхмерной решётке случайное блуждание уже невозвратно: есть положительная вероятность уйти навсегда.
В размерности d та же оценка даёт слой размера порядка rᵈ⁻¹.
Сопротивление слоя имеет порядок 1/rᵈ⁻¹.
Поэтому нужно смотреть на ряд Σ1/rᵈ⁻¹.
При d = 1 он расходится.
При d =2 получается гармонический ряд, он тоже расходится.
При d ≥ 3 ряд сходится.
Так электрическая сеть даёт ту же границу, что и теорема Пойи:
d =1, 2 — возвращение почти наверняка;
d ≥ 3 — есть шанс уйти навсегда.
Почему здесь вообще появляется электричество?
Потому что напряжение в электрической сети и вероятность попадания в точку подчиняются одному и тому же локальному правилу.
Если в вершине нет источника тока, то её напряжение равно среднему значению напряжений в соседних вершинах. Это закон Кирхгофа.
Если случайное блуждание находится в вершине, то вероятность будущего события тоже равна среднему значению таких вероятностей по соседним вершинам: следующий шаг выбирается равновероятно.
В обоих случаях возникает одна и та же дискретная гармоническая функция на графе. Поэтому вопрос о возвращении случайного блуждания можно перевести на язык токов, напряжений и сопротивлений.
Электрическая формулировка показывает, что в размерности 2 путей наружу становится больше, но ещё недостаточно: сопротивления слоёв дают гармонический ряд. В размерности 3 площадь слоёв растёт как r², параллельных путей становится достаточно много, и суммарное сопротивление до бесконечности оказывается конечным.

Вернётся ли пьяница?

Рассмотрим случайное блуждание по решётке.
На прямой точка каждый раз идёт на 1 влево или на 1 вправо.
На плоскости — на одну клетку в одном из четырёх направлений.
В трёхмерном пространстве — в одном из шести направлений.
Вопрос: вернётся ли точка когда-нибудь в исходное положение?
Ответ зависит от размерности.
На прямой — вернётся почти наверняка.
На плоскости — тоже почти наверняка.
В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1.
Это теорема Пойи.
Посмотрим, откуда возникает граница между размерностями 2 и 3.
Начнём с прямой. Каждый шаг равен +1 или −1 с вероятностями ½  и ½ .
После n шагов положение равно
Sₙ = X₁+X₂+...+Xₙ,
где каждое Xᵢ равно +1 или −1.
Среднее одного шага равно E(Xᵢ) = 0.
Средний квадрат равен E(Xᵢ²) = 1.
Значит, дисперсия одного шага равна 1, а дисперсия суммы равна
D(Sₙ) = D(X₁)+...+D(Xₙ) = n.
Стандартное отклонение равно √n.
Это естественный масштаб случайного блуждания после n шагов. Обычно положение не имеет порядок n: шаги частично компенсируют друг друга, поэтому типичное отклонение от начала имеет порядок √n.
На прямой существенная часть вероятности распределена на отрезке длины порядка √n.
Поэтому вероятность оказаться в одной конкретной точке, например в начале, имеет порядок 1/√n=n⁻¹ᐟ².
На плоскости за n шагов каждая координата тоже имеет разброс порядка √n. Поэтому существенная часть вероятности распределена в области размера примерно √n×√n.
Её площадь имеет порядок n. Значит, вероятность попасть в одну фиксированную точку имеет порядок 1/n=n⁻¹.
В d-мерном случае типичный разброс по каждой координате имеет порядок √n. Значит, существенная часть вероятности распределена не по всему пространству, а по области с линейным размером порядка √n в каждом из d направлений.
Число точек в такой области имеет порядок (√n)ᵈ = nᵈᐟ².
Если вероятность распределена примерно по nᵈᐟ² точкам, то вероятность оказаться в одной фиксированной точке, например в начале, имеет порядок 1/nᵈᐟ²=n⁻ᵈᐟ².
Теперь важно, что мы складываем эти вероятности по всем моментам времени n.
Для прямой d=1, поэтому вероятность возврата в начало в момент n имеет порядок Σn⁻¹ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻¹ᐟ². Он расходится.
Для плоскости d=2, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻¹. Возникает ряд порядка Σn⁻¹. Он тоже расходится.
Для трёхмерного пространства d=3, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻³ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻³ᐟ². Он сходится.
Вот почему двумерный и трёхмерный случаи различаются.
В обоих случаях типичное расстояние от начала после n шагов имеет порядок √n.
Но число возможных точек в типичной области разное:
на плоскости — порядка (√n)²=n;
в пространстве — порядка (√n)³=n³ᐟ².
Поэтому в трёхмерном случае вероятность оказаться ровно в начале убывает быстрее: не как 1/n, а как 1/n³ᐟ².
Именно переход от ряда Σ1/n к ряду Σ1/n³ᐟ² и даёт границу между размерностями 2 и 3.
Остаётся связать это с вероятностью возвращения.
Пусть r — вероятность когда-нибудь вернуться в начало после ухода из него.
После каждого возвращения процесс начинается заново: снова та же вероятность r вернуться ещё раз.
Поэтому ожидаемое число посещений начальной точки имеет вид
1 + r + r² + r³ + ...
Если r