Встречный курс
Пусть в системе отсчёта Земли один корабль летит вправо со скоростью 0,8c, а другой — влево с такой же скоростью. За одну секунду расстояние между ними уменьшается на
0,8c + 0,8c = 1,6c.
Значит, в системе отсчёта Земли скорость их сближения равна 1,6c.
Противоречия с теорией относительности здесь нет. Число 1,6c — не скорость одного корабля в системе отсчёта другого. Это скорость, с которой уменьшается расстояние между ними по земным часам.
если источник испускает два световых луча в противоположных направлениях, то в системе отсчёта источника расстояние между фронтами лучей увеличивается со скоростью 2c. Но каждый луч по-прежнему движется со скоростью c.
В опросе спрашивалось другое: какую скорость одного корабля измерит наблюдатель на другом корабле?
Для этого обычное сложение уже не подходит. Если u и v — модули скоростей двух тел, движущихся навстречу друг другу, то скорость одного тела относительно другого равна
w = (u + v)/(1 + uv/c²).
Поэтому
w = (0,8c + 0,8c)/(1 + 0,8·0,8) = 40c/41.
Почему закон сложения скоростей устроен такой странной дробью?
Будем измерять скорости в долях скорости света. Пусть:
β₁ = v₁/c, β₂ = v₂/c,
где v₁ и v₂ — модули скоростей двух тел. Скорость одного тела относительно другого тоже выразим в долях c и обозначим через β₁₂. Тогда
β₁₂ = (β₁ + β₂)/(1 + β₁β₂).
Теперь введём вспомогательную величину
q = (1 + β)/(1 − β).
Для трёх скоростей получаем:
q₁ = (1 + β₁)/(1 − β₁),
q₂ = (1 + β₂)/(1 − β₂),
q₁₂ = (1 + β₁₂)/(1 − β₁₂).
Подставим формулу для β₁₂:
q₁₂ = [1 + (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)] / [1 − (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)].
После упрощения:
q₁₂ = (1+β₁β₂+β₁+β₂)/(1+β₁β₂−β₁−β₂).
Числитель и знаменатель раскладываются на множители:
q₁₂ = (1+β₁)(1+β₂)/((1−β₁)(1−β₂)).
Значит, q₁₂ = q₁q₂.
Итак, сами скорости складываются по дробной формуле, а соответствующие им числа q при этом просто перемножаются.
Остаётся превратить умножение в сложение. Для этого нужен логарифм. Введём величину
φ = ½ ln q = ½ ln((1 + β)/(1 − β)).
Она называется быстротой.
Поскольку q₁₂ = q₁q₂, получаем
φ₁₂ = ½ ln(q₁q₂) = ½ ln q₁ + ½ ln q₂ = φ₁ + φ₂.
Получается, что скорости складываются сложно, а быстроты — обычным образом.
Это не просто удобная замена переменной. Из определения быстроты можно выразить скорость:
β = (e^(2φ) − 1)/(e^(2φ) + 1) = th φ.
В обычной геометрии поворот сохраняет величину x² + y², а последовательным поворотам соответствует сложение углов. Преобразования Лоренца устроены похоже, только они сохраняют величину c²t² − x². Их можно рассматривать как гиперболические повороты, а быстрота φ играет роль гиперболического угла.
Поэтому быстроты складываются по той же причине, по которой складываются углы последовательных поворотов.
При этом th φ при любом конечном φ остаётся между −1 и 1. Значит, соответствующая скорость βc всегда меньше c. Скорости света отвечала бы бесконечная быстрота.
Пусть в системе отсчёта Земли один корабль летит вправо со скоростью 0,8c, а другой — влево с такой же скоростью. За одну секунду расстояние между ними уменьшается на
0,8c + 0,8c = 1,6c.
Значит, в системе отсчёта Земли скорость их сближения равна 1,6c.
Противоречия с теорией относительности здесь нет. Число 1,6c — не скорость одного корабля в системе отсчёта другого. Это скорость, с которой уменьшается расстояние между ними по земным часам.
если источник испускает два световых луча в противоположных направлениях, то в системе отсчёта источника расстояние между фронтами лучей увеличивается со скоростью 2c. Но каждый луч по-прежнему движется со скоростью c.
В опросе спрашивалось другое: какую скорость одного корабля измерит наблюдатель на другом корабле?
Для этого обычное сложение уже не подходит. Если u и v — модули скоростей двух тел, движущихся навстречу друг другу, то скорость одного тела относительно другого равна
w = (u + v)/(1 + uv/c²).
Поэтому
w = (0,8c + 0,8c)/(1 + 0,8·0,8) = 40c/41.
Почему закон сложения скоростей устроен такой странной дробью?
Будем измерять скорости в долях скорости света. Пусть:
β₁ = v₁/c, β₂ = v₂/c,
где v₁ и v₂ — модули скоростей двух тел. Скорость одного тела относительно другого тоже выразим в долях c и обозначим через β₁₂. Тогда
β₁₂ = (β₁ + β₂)/(1 + β₁β₂).
Теперь введём вспомогательную величину
q = (1 + β)/(1 − β).
Для трёх скоростей получаем:
q₁ = (1 + β₁)/(1 − β₁),
q₂ = (1 + β₂)/(1 − β₂),
q₁₂ = (1 + β₁₂)/(1 − β₁₂).
Подставим формулу для β₁₂:
q₁₂ = [1 + (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)] / [1 − (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)].
После упрощения:
q₁₂ = (1+β₁β₂+β₁+β₂)/(1+β₁β₂−β₁−β₂).
Числитель и знаменатель раскладываются на множители:
q₁₂ = (1+β₁)(1+β₂)/((1−β₁)(1−β₂)).
Значит, q₁₂ = q₁q₂.
Итак, сами скорости складываются по дробной формуле, а соответствующие им числа q при этом просто перемножаются.
Остаётся превратить умножение в сложение. Для этого нужен логарифм. Введём величину
φ = ½ ln q = ½ ln((1 + β)/(1 − β)).
Она называется быстротой.
Поскольку q₁₂ = q₁q₂, получаем
φ₁₂ = ½ ln(q₁q₂) = ½ ln q₁ + ½ ln q₂ = φ₁ + φ₂.
Получается, что скорости складываются сложно, а быстроты — обычным образом.
Это не просто удобная замена переменной. Из определения быстроты можно выразить скорость:
β = (e^(2φ) − 1)/(e^(2φ) + 1) = th φ.
В обычной геометрии поворот сохраняет величину x² + y², а последовательным поворотам соответствует сложение углов. Преобразования Лоренца устроены похоже, только они сохраняют величину c²t² − x². Их можно рассматривать как гиперболические повороты, а быстрота φ играет роль гиперболического угла.
Поэтому быстроты складываются по той же причине, по которой складываются углы последовательных поворотов.
При этом th φ при любом конечном φ остаётся между −1 и 1. Значит, соответствующая скорость βc всегда меньше c. Скорости света отвечала бы бесконечная быстрота.