Два фотона
Масса каждого фотона равна нулю. Откуда же у пары может взяться ненулевая масса?
Здесь обнаруживается важное отличие от классической физики: сумма масс отдельных частиц не обязана сохраняться. В теории относительности фундаментальными законами являются сохранение энергии и импульса всей замкнутой системы.
Это различие можно увидеть на совершенно реальном примере. Нейтральный пион π⁰ — частица с ненулевой массой — обычно распадается на два фотона.
Рассмотрим такой распад в системе отсчёта, где пион до распада покоился. Его импульс равен нулю, а энергия равна Mc², где M — масса пиона.
После распада два фотона одинаковой энергии E разлетаются в противоположных направлениях. Их импульсы взаимно уничтожаются, поэтому полный импульс системы по-прежнему равен нулю. А полная энергия равна 2E.
Значит, M = 2E/c².
До распада масса одной частицы была равна M. После распада массы обоих фотонов равны нулю, но масса всей системы из двух фотонов по-прежнему равна M.
Именно массу всей системы мы ищем. Точнее, это её инвариантная масса. Для пары встречных фотонов существует система отсчёта с нулевым суммарным импульсом, и в ней масса системы равна её полной энергии, делённой на c².
Получается, масса системы не равна сумме масс её частей. Она учитывает также энергию движения и взаимное направление импульсов.
Поэтому сумма масс покоя частиц может изменяться. Энергия покоя исходной частицы может перейти в энергию движения или излучения продуктов распада — и наоборот.
В обычных химических и механических процессах соответствующие изменения массы чрезвычайно малы, и закон сохранения массы работает как прекрасное приближение. Но в ядерной физике и физике частиц сохранять нужно полные энергию и импульс.
Теперь посмотрим, как из энергии и импульса вычисляется масса системы.
В релятивистской механике энергия и импульс объединяются в один вектор P = (E/c; p).
Для простоты будем рассматривать движение по одной прямой.
Квадрат этого вектора в геометрии пространства-времени определяется не как сумма квадратов, а как их разность:
P² = (E/c)² − p².
Это та же геометрия, которая уже появлялась в пространстве-времени:
c²t² − x².
Преобразования Лоренца меняют энергию и импульс, но сохраняют величину P².
Что означает эта неизменная величина?
Если существует система отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю, то полная энергия в ней равна Mc², поэтому
P² = (Mc²/c)² = M²c².
Отсюда
M²c⁴ = E² − p²c².
Здесь E и p — уже полная энергия и полный импульс всей системы.
На примере распада пиона мы увидели, почему ненулевая масса пары не нарушает законов сохранения. Теперь вычислим эту массу непосредственно из геометрии энергии и импульса.
Для фотона масса равна нулю, поэтому его вектор энергии-импульса имеет нулевую длину:
(E/c)² − p² = 0.
Следовательно,
p = E/c.
Пусть первый фотон летит вправо, а второй — влево. Их векторы имеют вид
P₁ = (E/c; E/c),
P₂ = (E/c; −E/c).
У каждого из них квадрат длины равен нулю:
(E/c)² − (E/c)² = 0.
Сложим эти векторы:
P₁ + P₂ = (2E/c; 0).
Импульсы уничтожились, а энергии сложились. Квадрат длины суммы теперь равен
(2E/c)² − 0² = 4E²/c².
Значит, M²c² = 4E²/c²,
откуда M = 2E/c².
У отдельного фотона нет системы покоя: невозможно догнать его и увидеть неподвижным. А у пары встречных фотонов такая система есть — именно в ней их импульсы взаимно уничтожаются.
Если же два таких же фотона летят в одну сторону, то
P₁ + P₂ = (2E/c; 2E/c),
и длина суммы снова равна нулю. Масса такой системы равна нулю.
Получается, масса пары зависит не только от энергий фотонов, но и от направлений их движения.
За этим физическим результатом стоит необычный геометрический факт. В евклидовой геометрии ненулевого вектора нулевой длины не бывает. В геометрии пространства-времени такие векторы есть — и сумма двух векторов нулевой длины может иметь ненулевую длину.
Поэтому два безмассовых фотона могут вместе образовать систему с массой.
Масса каждого фотона равна нулю. Откуда же у пары может взяться ненулевая масса?
Здесь обнаруживается важное отличие от классической физики: сумма масс отдельных частиц не обязана сохраняться. В теории относительности фундаментальными законами являются сохранение энергии и импульса всей замкнутой системы.
Это различие можно увидеть на совершенно реальном примере. Нейтральный пион π⁰ — частица с ненулевой массой — обычно распадается на два фотона.
Рассмотрим такой распад в системе отсчёта, где пион до распада покоился. Его импульс равен нулю, а энергия равна Mc², где M — масса пиона.
После распада два фотона одинаковой энергии E разлетаются в противоположных направлениях. Их импульсы взаимно уничтожаются, поэтому полный импульс системы по-прежнему равен нулю. А полная энергия равна 2E.
Значит, M = 2E/c².
До распада масса одной частицы была равна M. После распада массы обоих фотонов равны нулю, но масса всей системы из двух фотонов по-прежнему равна M.
Именно массу всей системы мы ищем. Точнее, это её инвариантная масса. Для пары встречных фотонов существует система отсчёта с нулевым суммарным импульсом, и в ней масса системы равна её полной энергии, делённой на c².
Получается, масса системы не равна сумме масс её частей. Она учитывает также энергию движения и взаимное направление импульсов.
Поэтому сумма масс покоя частиц может изменяться. Энергия покоя исходной частицы может перейти в энергию движения или излучения продуктов распада — и наоборот.
В обычных химических и механических процессах соответствующие изменения массы чрезвычайно малы, и закон сохранения массы работает как прекрасное приближение. Но в ядерной физике и физике частиц сохранять нужно полные энергию и импульс.
Теперь посмотрим, как из энергии и импульса вычисляется масса системы.
В релятивистской механике энергия и импульс объединяются в один вектор P = (E/c; p).
Для простоты будем рассматривать движение по одной прямой.
Квадрат этого вектора в геометрии пространства-времени определяется не как сумма квадратов, а как их разность:
P² = (E/c)² − p².
Это та же геометрия, которая уже появлялась в пространстве-времени:
c²t² − x².
Преобразования Лоренца меняют энергию и импульс, но сохраняют величину P².
Что означает эта неизменная величина?
Если существует система отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю, то полная энергия в ней равна Mc², поэтому
P² = (Mc²/c)² = M²c².
Отсюда
M²c⁴ = E² − p²c².
Здесь E и p — уже полная энергия и полный импульс всей системы.
На примере распада пиона мы увидели, почему ненулевая масса пары не нарушает законов сохранения. Теперь вычислим эту массу непосредственно из геометрии энергии и импульса.
Для фотона масса равна нулю, поэтому его вектор энергии-импульса имеет нулевую длину:
(E/c)² − p² = 0.
Следовательно,
p = E/c.
Пусть первый фотон летит вправо, а второй — влево. Их векторы имеют вид
P₁ = (E/c; E/c),
P₂ = (E/c; −E/c).
У каждого из них квадрат длины равен нулю:
(E/c)² − (E/c)² = 0.
Сложим эти векторы:
P₁ + P₂ = (2E/c; 0).
Импульсы уничтожились, а энергии сложились. Квадрат длины суммы теперь равен
(2E/c)² − 0² = 4E²/c².
Значит, M²c² = 4E²/c²,
откуда M = 2E/c².
У отдельного фотона нет системы покоя: невозможно догнать его и увидеть неподвижным. А у пары встречных фотонов такая система есть — именно в ней их импульсы взаимно уничтожаются.
Если же два таких же фотона летят в одну сторону, то
P₁ + P₂ = (2E/c; 2E/c),
и длина суммы снова равна нулю. Масса такой системы равна нулю.
Получается, масса пары зависит не только от энергий фотонов, но и от направлений их движения.
За этим физическим результатом стоит необычный геометрический факт. В евклидовой геометрии ненулевого вектора нулевой длины не бывает. В геометрии пространства-времени такие векторы есть — и сумма двух векторов нулевой длины может иметь ненулевую длину.
Поэтому два безмассовых фотона могут вместе образовать систему с массой.