Почему электричество знает, вернётся ли пьяница
В теореме Пойи случайное блуждание ведёт себя по-разному в разных размерностях.
На прямой и на плоскости точка почти наверняка когда-нибудь вернётся в начало.
В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1.
Ту же границу можно увидеть без вероятностей — через электрическую сеть.
Заменим каждое ребро решётки резистором сопротивления 1 Ом.
Теперь спросим: каково сопротивление от начальной точки до бесконечности?
Оказывается, здесь работает правило:
если сопротивление до бесконечности бесконечно, случайное блуждание возвратно;
если сопротивление конечно, есть положительная вероятность уйти и не вернуться.
На прямой всё очевидно. Чтобы уйти к бесконечности, ток должен пройти через бесконечную цепочку резисторов, соединённых последовательно:
1 + 1 + 1 + ... = ∞.
Сопротивление бесконечно. Поэтому одномерное блуждание возвращается.
На плоскости ситуация не такая очевидная.
Ток может растекаться во все стороны. Но посмотрим на квадратные «слои» вокруг начала.
На расстоянии порядка r от начала слой имеет длину порядка r. Значит, через этот слой есть порядка r параллельных путей.
Если r одинаковых резисторов соединены параллельно, их общее сопротивление имеет порядок 1/r.
Чтобы уйти на бесконечность, нужно пройти все слои:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....
Это гармонический ряд, он расходится.
Значит, сопротивление плоской решётки до бесконечности тоже бесконечно.
Поэтому случайное блуждание на плоскости возвращается почти наверняка.
Но это уже пограничный случай: сопротивление растёт очень медленно, как гармонический ряд.
В трёхмерном пространстве слой радиуса r имеет уже не длину, а площадь порядка r².
Значит, параллельных проходов через слой порядка r², а сопротивление слоя имеет порядок 1/r².
Общее сопротивление до бесконечности ведёт себя как
1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ....
Этот ряд сходится; более того, его сумма равна π²/6. Точное сопротивление решётки не равно этой сумме, но для вопроса о возвратности важен сам факт сходимости.
Поэтому в трёхмерной решётке случайное блуждание уже невозвратно: есть положительная вероятность уйти навсегда.
В размерности d та же оценка даёт слой размера порядка rᵈ⁻¹.
Сопротивление слоя имеет порядок 1/rᵈ⁻¹.
Поэтому нужно смотреть на ряд Σ1/rᵈ⁻¹.
При d = 1 он расходится.
При d =2 получается гармонический ряд, он тоже расходится.
При d ≥ 3 ряд сходится.
Так электрическая сеть даёт ту же границу, что и теорема Пойи:
d =1, 2 — возвращение почти наверняка;
d ≥ 3 — есть шанс уйти навсегда.
Почему здесь вообще появляется электричество?
Потому что напряжение в электрической сети и вероятность попадания в точку подчиняются одному и тому же локальному правилу.
Если в вершине нет источника тока, то её напряжение равно среднему значению напряжений в соседних вершинах. Это закон Кирхгофа.
Если случайное блуждание находится в вершине, то вероятность будущего события тоже равна среднему значению таких вероятностей по соседним вершинам: следующий шаг выбирается равновероятно.
В обоих случаях возникает одна и та же дискретная гармоническая функция на графе. Поэтому вопрос о возвращении случайного блуждания можно перевести на язык токов, напряжений и сопротивлений.
Электрическая формулировка показывает, что в размерности 2 путей наружу становится больше, но ещё недостаточно: сопротивления слоёв дают гармонический ряд. В размерности 3 площадь слоёв растёт как r², параллельных путей становится достаточно много, и суммарное сопротивление до бесконечности оказывается конечным.
В теореме Пойи случайное блуждание ведёт себя по-разному в разных размерностях.
На прямой и на плоскости точка почти наверняка когда-нибудь вернётся в начало.
В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1.
Ту же границу можно увидеть без вероятностей — через электрическую сеть.
Заменим каждое ребро решётки резистором сопротивления 1 Ом.
Теперь спросим: каково сопротивление от начальной точки до бесконечности?
Оказывается, здесь работает правило:
если сопротивление до бесконечности бесконечно, случайное блуждание возвратно;
если сопротивление конечно, есть положительная вероятность уйти и не вернуться.
На прямой всё очевидно. Чтобы уйти к бесконечности, ток должен пройти через бесконечную цепочку резисторов, соединённых последовательно:
1 + 1 + 1 + ... = ∞.
Сопротивление бесконечно. Поэтому одномерное блуждание возвращается.
На плоскости ситуация не такая очевидная.
Ток может растекаться во все стороны. Но посмотрим на квадратные «слои» вокруг начала.
На расстоянии порядка r от начала слой имеет длину порядка r. Значит, через этот слой есть порядка r параллельных путей.
Если r одинаковых резисторов соединены параллельно, их общее сопротивление имеет порядок 1/r.
Чтобы уйти на бесконечность, нужно пройти все слои:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....
Это гармонический ряд, он расходится.
Значит, сопротивление плоской решётки до бесконечности тоже бесконечно.
Поэтому случайное блуждание на плоскости возвращается почти наверняка.
Но это уже пограничный случай: сопротивление растёт очень медленно, как гармонический ряд.
В трёхмерном пространстве слой радиуса r имеет уже не длину, а площадь порядка r².
Значит, параллельных проходов через слой порядка r², а сопротивление слоя имеет порядок 1/r².
Общее сопротивление до бесконечности ведёт себя как
1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ....
Этот ряд сходится; более того, его сумма равна π²/6. Точное сопротивление решётки не равно этой сумме, но для вопроса о возвратности важен сам факт сходимости.
Поэтому в трёхмерной решётке случайное блуждание уже невозвратно: есть положительная вероятность уйти навсегда.
В размерности d та же оценка даёт слой размера порядка rᵈ⁻¹.
Сопротивление слоя имеет порядок 1/rᵈ⁻¹.
Поэтому нужно смотреть на ряд Σ1/rᵈ⁻¹.
При d = 1 он расходится.
При d =2 получается гармонический ряд, он тоже расходится.
При d ≥ 3 ряд сходится.
Так электрическая сеть даёт ту же границу, что и теорема Пойи:
d =1, 2 — возвращение почти наверняка;
d ≥ 3 — есть шанс уйти навсегда.
Почему здесь вообще появляется электричество?
Потому что напряжение в электрической сети и вероятность попадания в точку подчиняются одному и тому же локальному правилу.
Если в вершине нет источника тока, то её напряжение равно среднему значению напряжений в соседних вершинах. Это закон Кирхгофа.
Если случайное блуждание находится в вершине, то вероятность будущего события тоже равна среднему значению таких вероятностей по соседним вершинам: следующий шаг выбирается равновероятно.
В обоих случаях возникает одна и та же дискретная гармоническая функция на графе. Поэтому вопрос о возвращении случайного блуждания можно перевести на язык токов, напряжений и сопротивлений.
Электрическая формулировка показывает, что в размерности 2 путей наружу становится больше, но ещё недостаточно: сопротивления слоёв дают гармонический ряд. В размерности 3 площадь слоёв растёт как r², параллельных путей становится достаточно много, и суммарное сопротивление до бесконечности оказывается конечным.