Куда ушла энергия

В посте про честную игру возникала неожиданная формула:
P(A≤x) = 2/π · arcsin√x.
Там A обозначала долю времени, в течение которого накопленный выигрыш был положительным.
Оказалось, что эта доля совсем не обязана быть близкой к 1/2. Значения около 0 и 1 встречаются очень часто.
Но та же формула появляется и в гораздо более простой геометрической ситуации.
Пусть частица движется с постоянной скоростью v, но направление движения выбирается случайно.
Обозначим через φ острый угол между направлением движения и горизонталью.
Горизонтальная составляющая скорости равна
vₓ = v cosφ.
Полная кинетическая энергия пропорциональна v².
А часть кинетической энергии, связанная с горизонтальным движением, пропорциональна
vₓ² = v²cos²φ.
Значит, горизонтальная доля энергии равна
A = vₓ²/v² = cos²φ.
Если направление выбрано случайно, то из-за симметрии можно считать, что φ равномерно распределён на отрезке от 0 до π/2.
Найдём распределение величины A.
Условие A ≤ x означает cos²φ ≤ x.
Так как 0≤φ≤π/2, это равносильно условию cosφ ≤ √x.
Косинус на этом отрезке убывает, поэтому φ ≥ arccos√x.
Значит, подходящие углы занимают промежуток от arccos√x до π/2.
Его длина равна
π/2 − arccos√x = arcsin√x.
А весь промежуток возможных значений φ имеет длину π/2.
Поэтому
P(A≤x) = arcsin√x /(π/2) = 2/π · arcsin√x.
Получилась та же арксинусная формула.
Теперь посчитаем конкретные вероятности.
Вероятность, что горизонтальная доля энергии меньше 10%, равна
P(A