Вернётся ли пьяница?
Рассмотрим случайное блуждание по решётке.
На прямой точка каждый раз идёт на 1 влево или на 1 вправо.
На плоскости — на одну клетку в одном из четырёх направлений.
В трёхмерном пространстве — в одном из шести направлений.
Вопрос: вернётся ли точка когда-нибудь в исходное положение?
Ответ зависит от размерности.
На прямой — вернётся почти наверняка.
На плоскости — тоже почти наверняка.
В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1.
Это теорема Пойи.
Посмотрим, откуда возникает граница между размерностями 2 и 3.
Начнём с прямой. Каждый шаг равен +1 или −1 с вероятностями ½ и ½ .
После n шагов положение равно
Sₙ = X₁+X₂+...+Xₙ,
где каждое Xᵢ равно +1 или −1.
Среднее одного шага равно E(Xᵢ) = 0.
Средний квадрат равен E(Xᵢ²) = 1.
Значит, дисперсия одного шага равна 1, а дисперсия суммы равна
D(Sₙ) = D(X₁)+...+D(Xₙ) = n.
Стандартное отклонение равно √n.
Это естественный масштаб случайного блуждания после n шагов. Обычно положение не имеет порядок n: шаги частично компенсируют друг друга, поэтому типичное отклонение от начала имеет порядок √n.
На прямой существенная часть вероятности распределена на отрезке длины порядка √n.
Поэтому вероятность оказаться в одной конкретной точке, например в начале, имеет порядок 1/√n=n⁻¹ᐟ².
На плоскости за n шагов каждая координата тоже имеет разброс порядка √n. Поэтому существенная часть вероятности распределена в области размера примерно √n×√n.
Её площадь имеет порядок n. Значит, вероятность попасть в одну фиксированную точку имеет порядок 1/n=n⁻¹.
В d-мерном случае типичный разброс по каждой координате имеет порядок √n. Значит, существенная часть вероятности распределена не по всему пространству, а по области с линейным размером порядка √n в каждом из d направлений.
Число точек в такой области имеет порядок (√n)ᵈ = nᵈᐟ².
Если вероятность распределена примерно по nᵈᐟ² точкам, то вероятность оказаться в одной фиксированной точке, например в начале, имеет порядок 1/nᵈᐟ²=n⁻ᵈᐟ².
Теперь важно, что мы складываем эти вероятности по всем моментам времени n.
Для прямой d=1, поэтому вероятность возврата в начало в момент n имеет порядок Σn⁻¹ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻¹ᐟ². Он расходится.
Для плоскости d=2, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻¹. Возникает ряд порядка Σn⁻¹. Он тоже расходится.
Для трёхмерного пространства d=3, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻³ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻³ᐟ². Он сходится.
Вот почему двумерный и трёхмерный случаи различаются.
В обоих случаях типичное расстояние от начала после n шагов имеет порядок √n.
Но число возможных точек в типичной области разное:
на плоскости — порядка (√n)²=n;
в пространстве — порядка (√n)³=n³ᐟ².
Поэтому в трёхмерном случае вероятность оказаться ровно в начале убывает быстрее: не как 1/n, а как 1/n³ᐟ².
Именно переход от ряда Σ1/n к ряду Σ1/n³ᐟ² и даёт границу между размерностями 2 и 3.
Остаётся связать это с вероятностью возвращения.
Пусть r — вероятность когда-нибудь вернуться в начало после ухода из него.
После каждого возвращения процесс начинается заново: снова та же вероятность r вернуться ещё раз.
Поэтому ожидаемое число посещений начальной точки имеет вид
1 + r + r² + r³ + ...
Если r
Рассмотрим случайное блуждание по решётке.
На прямой точка каждый раз идёт на 1 влево или на 1 вправо.
На плоскости — на одну клетку в одном из четырёх направлений.
В трёхмерном пространстве — в одном из шести направлений.
Вопрос: вернётся ли точка когда-нибудь в исходное положение?
Ответ зависит от размерности.
На прямой — вернётся почти наверняка.
На плоскости — тоже почти наверняка.
В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1.
Это теорема Пойи.
Посмотрим, откуда возникает граница между размерностями 2 и 3.
Начнём с прямой. Каждый шаг равен +1 или −1 с вероятностями ½ и ½ .
После n шагов положение равно
Sₙ = X₁+X₂+...+Xₙ,
где каждое Xᵢ равно +1 или −1.
Среднее одного шага равно E(Xᵢ) = 0.
Средний квадрат равен E(Xᵢ²) = 1.
Значит, дисперсия одного шага равна 1, а дисперсия суммы равна
D(Sₙ) = D(X₁)+...+D(Xₙ) = n.
Стандартное отклонение равно √n.
Это естественный масштаб случайного блуждания после n шагов. Обычно положение не имеет порядок n: шаги частично компенсируют друг друга, поэтому типичное отклонение от начала имеет порядок √n.
На прямой существенная часть вероятности распределена на отрезке длины порядка √n.
Поэтому вероятность оказаться в одной конкретной точке, например в начале, имеет порядок 1/√n=n⁻¹ᐟ².
На плоскости за n шагов каждая координата тоже имеет разброс порядка √n. Поэтому существенная часть вероятности распределена в области размера примерно √n×√n.
Её площадь имеет порядок n. Значит, вероятность попасть в одну фиксированную точку имеет порядок 1/n=n⁻¹.
В d-мерном случае типичный разброс по каждой координате имеет порядок √n. Значит, существенная часть вероятности распределена не по всему пространству, а по области с линейным размером порядка √n в каждом из d направлений.
Число точек в такой области имеет порядок (√n)ᵈ = nᵈᐟ².
Если вероятность распределена примерно по nᵈᐟ² точкам, то вероятность оказаться в одной фиксированной точке, например в начале, имеет порядок 1/nᵈᐟ²=n⁻ᵈᐟ².
Теперь важно, что мы складываем эти вероятности по всем моментам времени n.
Для прямой d=1, поэтому вероятность возврата в начало в момент n имеет порядок Σn⁻¹ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻¹ᐟ². Он расходится.
Для плоскости d=2, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻¹. Возникает ряд порядка Σn⁻¹. Он тоже расходится.
Для трёхмерного пространства d=3, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻³ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻³ᐟ². Он сходится.
Вот почему двумерный и трёхмерный случаи различаются.
В обоих случаях типичное расстояние от начала после n шагов имеет порядок √n.
Но число возможных точек в типичной области разное:
на плоскости — порядка (√n)²=n;
в пространстве — порядка (√n)³=n³ᐟ².
Поэтому в трёхмерном случае вероятность оказаться ровно в начале убывает быстрее: не как 1/n, а как 1/n³ᐟ².
Именно переход от ряда Σ1/n к ряду Σ1/n³ᐟ² и даёт границу между размерностями 2 и 3.
Остаётся связать это с вероятностью возвращения.
Пусть r — вероятность когда-нибудь вернуться в начало после ухода из него.
После каждого возвращения процесс начинается заново: снова та же вероятность r вернуться ещё раз.
Поэтому ожидаемое число посещений начальной точки имеет вид
1 + r + r² + r³ + ...
Если r