Две дороги между встречами
Если тело движется со скоростью v, то его собственное время τ связано с земным временем t соотношением
τ = t√(1 − v²/c²).
Для одного участка пути:
τ = 5√(1 − 0,6²) = 4 года.
Туда и обратно — 8 лет.
Но здесь есть более интересный способ увидеть тот же ответ.
За один участок корабль перемещается на 3 световых года за 5 земных лет. Время, прошедшее на корабле, равно
√(5² − 3²) = 4 года.
Да, получился египетский треугольник 3–4–5, только теорема Пифагора работает не как
5² = 4² + 3², а как
4² = 5² − 3².
Числа те же, но геометрия другая.
В обычной геометрии длина отрезка на плоскости равна
√(x² + y²).
В пространстве-времени собственное время между двумя событиями определяется выражением
τ = √(t² − x²/c²).
Из-за знака минус привычное неравенство треугольника как будто переворачивается.
Корабль движется от первого события — старта — ко второму, развороту, а затем к третьему — возвращению. На двух участках его собственное время равно
4 + 4 = 8 лет.
Земля между теми же событиями старта и возвращения никуда не перемещается, поэтому её собственное время равно
√(10² − 0²) = 10 лет.
Получается
4 + 4 < 10.
Ломаная мировая линия оказалась короче прямой.
Это, конечно, не особенность удачно выбранных чисел. Пусть тело движется в течение времени t₁ с координатной скоростью v₁, а затем в течение времени t₂ с координатной скоростью v₂. Скорости здесь берутся со знаками: движение в обратную сторону соответствует отрицательной скорости.
На его часах пройдёт
τ = t₁f(v₁) + t₂f(v₂),
где
f(v) = √(1 − v²/c²).
Эта функция вогнута:
f″(v) < 0.
По неравенству Йенсена
t₁f(v₁) + t₂f(v₂) ≤
(t₁ + t₂)f((t₁v₁ + t₂v₂)/(t₁ + t₂)).
Дробь в правой части — средняя скорость на всём пути. Значит, справа стоит время, которое прошло бы при равномерном прямолинейном движении между теми же двумя событиями.
Итак, между двумя фиксированными событиями в плоском пространстве-времени прямая мировая линия даёт не наименьшее, а наибольшее собственное время.
Поэтому дело не в том, что ускорение само по себе «замедляет часы». Разворот нужен, чтобы перейти с одного прямолинейного участка на другой. Меньше времени набирает именно непрямая мировая линия.
В обычной геометрии тот, кто идёт напрямик, проходит меньше.
В пространстве-времени тот, кто не сворачивает, стареет больше.
Если тело движется со скоростью v, то его собственное время τ связано с земным временем t соотношением
τ = t√(1 − v²/c²).
Для одного участка пути:
τ = 5√(1 − 0,6²) = 4 года.
Туда и обратно — 8 лет.
Но здесь есть более интересный способ увидеть тот же ответ.
За один участок корабль перемещается на 3 световых года за 5 земных лет. Время, прошедшее на корабле, равно
√(5² − 3²) = 4 года.
Да, получился египетский треугольник 3–4–5, только теорема Пифагора работает не как
5² = 4² + 3², а как
4² = 5² − 3².
Числа те же, но геометрия другая.
В обычной геометрии длина отрезка на плоскости равна
√(x² + y²).
В пространстве-времени собственное время между двумя событиями определяется выражением
τ = √(t² − x²/c²).
Из-за знака минус привычное неравенство треугольника как будто переворачивается.
Корабль движется от первого события — старта — ко второму, развороту, а затем к третьему — возвращению. На двух участках его собственное время равно
4 + 4 = 8 лет.
Земля между теми же событиями старта и возвращения никуда не перемещается, поэтому её собственное время равно
√(10² − 0²) = 10 лет.
Получается
4 + 4 < 10.
Ломаная мировая линия оказалась короче прямой.
Это, конечно, не особенность удачно выбранных чисел. Пусть тело движется в течение времени t₁ с координатной скоростью v₁, а затем в течение времени t₂ с координатной скоростью v₂. Скорости здесь берутся со знаками: движение в обратную сторону соответствует отрицательной скорости.
На его часах пройдёт
τ = t₁f(v₁) + t₂f(v₂),
где
f(v) = √(1 − v²/c²).
Эта функция вогнута:
f″(v) < 0.
По неравенству Йенсена
t₁f(v₁) + t₂f(v₂) ≤
(t₁ + t₂)f((t₁v₁ + t₂v₂)/(t₁ + t₂)).
Дробь в правой части — средняя скорость на всём пути. Значит, справа стоит время, которое прошло бы при равномерном прямолинейном движении между теми же двумя событиями.
Итак, между двумя фиксированными событиями в плоском пространстве-времени прямая мировая линия даёт не наименьшее, а наибольшее собственное время.
Поэтому дело не в том, что ускорение само по себе «замедляет часы». Разворот нужен, чтобы перейти с одного прямолинейного участка на другой. Меньше времени набирает именно непрямая мировая линия.
В обычной геометрии тот, кто идёт напрямик, проходит меньше.
В пространстве-времени тот, кто не сворачивает, стареет больше.