Функция Эйлера: от взаимно простых остатков до мультипликативности
Пятый и заключительный вебинар мини-курса
«Олимпиадная теория чисел: от сравнений до функции Эйлера».
Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами):
https://antitreningi.ru/pay/shop/m8szEw3f8790
(ссылка может плохо открываться при включённом VPN).
На предыдущем занятии мы уже пользовались теоремой Эйлера как готовым инструментом. Теперь разберёмся, откуда она берётся и почему работает.
Начнём с самой функции Эйлера и простейших вычислений, а дальше постепенно доберёмся до её главных свойств.
На вебинаре:
— найдём φ(p^k) и научимся быстро вычислять φ(n);
— посмотрим на функцию Эйлера как на число элементов слоя с заданным НОД;
— докажем красивое тождество Гаусса: сумма φ(d) по всем делителям d числа n равна n;
— свяжем эту идею с симпатичной задачей Московской математической олимпиады далёкого 1964 года;
— докажем мультипликативность функции Эйлера с помощью китайской теоремы об остатках;
— выведем общую формулу для φ(n);
— наконец докажем теорему Эйлера и получим малую теорему Ферма как её частный случай;
— и, конечно, порешаем олимпиадные задачи.
Причём функция Эйлера — вовсе не музейная редкость. В листке есть совсем свежие задачи Всеросса-2026 и «Росатома»-2025 и 2026.
А дальше пойдут задачи поинтереснее: те, где в условии вообще не написано «функция Эйлера», и её ещё нужно суметь заметить.
В предлагаемом листке имеется большой резерв для самостоятельной работы: уравнения с функцией Эйлера, сильные российские задачи, AIME и IMO Shortlist.
Вебинар пройдет в zoom 28 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих.
Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции.
Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂
Пятый и заключительный вебинар мини-курса
«Олимпиадная теория чисел: от сравнений до функции Эйлера».
Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами):
https://antitreningi.ru/pay/shop/m8szEw3f8790
(ссылка может плохо открываться при включённом VPN).
На предыдущем занятии мы уже пользовались теоремой Эйлера как готовым инструментом. Теперь разберёмся, откуда она берётся и почему работает.
Начнём с самой функции Эйлера и простейших вычислений, а дальше постепенно доберёмся до её главных свойств.
На вебинаре:
— найдём φ(p^k) и научимся быстро вычислять φ(n);
— посмотрим на функцию Эйлера как на число элементов слоя с заданным НОД;
— докажем красивое тождество Гаусса: сумма φ(d) по всем делителям d числа n равна n;
— свяжем эту идею с симпатичной задачей Московской математической олимпиады далёкого 1964 года;
— докажем мультипликативность функции Эйлера с помощью китайской теоремы об остатках;
— выведем общую формулу для φ(n);
— наконец докажем теорему Эйлера и получим малую теорему Ферма как её частный случай;
— и, конечно, порешаем олимпиадные задачи.
Причём функция Эйлера — вовсе не музейная редкость. В листке есть совсем свежие задачи Всеросса-2026 и «Росатома»-2025 и 2026.
А дальше пойдут задачи поинтереснее: те, где в условии вообще не написано «функция Эйлера», и её ещё нужно суметь заметить.
В предлагаемом листке имеется большой резерв для самостоятельной работы: уравнения с функцией Эйлера, сильные российские задачи, AIME и IMO Shortlist.
Вебинар пройдет в zoom 28 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих.
Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции.
Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂