Mathus

Олимпиадная динамика: от сил до связей

Вебинар 1. Законы Ньютона: рисуем силы — находим движение

Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами):

https://antitreningi.ru/pay/shop/v8EiRoPTdNwC

(ссылка может плохо открываться при включённом VPN).

Законы Ньютона сами по себе очень просты. Но в олимпиадной задаче основная трудность обычно начинается ещё до записи формул: нужно понять, какие силы действуют на тело, куда они направлены и какое ускорение создают.

На первом вебинаре курса будем учиться именно этому: переводить физическую ситуацию на язык сил и ускорений, а затем превращать рисунок в уравнения движения.

Начнём с поступательного движения, а затем перейдём к движению по окружности.

На вебинаре разберём:

🔹 как правильно рисовать силы и выбирать тело, для которого записываем второй закон Ньютона;

🔹 как выбирать оси и работать с проекциями сил и ускорения;

🔹 задачи с силой тяжести, натяжением нити, реакцией опоры и силами упругости;

🔹 как находить ускорение сразу после мгновенного изменения системы;

🔹 как применять законы Ньютона одновременно к нескольким телам;

🔹 как соединять динамику с уже знакомой нам кинематикой;

🔹 условия отрыва тела от поверхности;

🔹 движение по окружности и радиальную проекцию второго закона Ньютона;

🔹 вес тела при криволинейном движении.

Отдельно обсудим одну очень важную вещь: «центростремительная сила» — это не дополнительная сила, которую нужно дорисовать на рисунке. Центростремительное ускорение создаётся радиальной составляющей суммы обычных сил — тяжести, реакции опоры, натяжения и т. д.

В ядре листка — 9 задач с постепенным увеличением сложности: от достаточно прозрачных задач на второй закон Ньютона до полноценных олимпиадных сюжетов с несколькими телами и криволинейным движением.

Этот вебинар непосредственно продолжает наш курс «Геометрическая кинематика»: там мы учились находить скорости и ускорения из геометрии движения, а теперь начинаем выяснять, какие силы создают эти ускорения.

Вебинар рассчитан на учеников 9—11 классов и всех желающих.

📅 Когда: 9 октября, 17:00 (Мск)

📄 Листок с задачами:
https://mathus.ru/webinars/newton.pdf

Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции.

Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Завершаем курс «Геометрическая кинематика» 🙂

Пятый вебинар:

«Мгновенный центр вращения: геометрия скоростей твёрдого тела»

Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами):
https://antitreningi.ru/pay/shop/B-u96AA9uMEl
(ссылка может плохо открываться при включённом VPN).

Есть очень красивый способ смотреть на плоское движение твёрдого тела.

В каждый момент его движение можно представить как чистое вращение вокруг некоторой точки — мгновенного центра вращения.

И тогда вместо возни с проекциями и сложением векторов возникает простая геометрия: скорости всех точек перпендикулярны направлениям на МЦВ, а их модули пропорциональны расстояниям до него.

На вебинаре:

🔹 начнём со стержня и научимся находить его МЦВ;

🔹 ещё раз решим знакомую задачу про лодку и флажок — но теперь не через закон палочки, а через мгновенный центр вращения;

🔹 разберём кривошипно-шатунные механизмы и стержни, движущиеся в направляющих;

🔹 перейдём от стержня к пластине и поговорим о геометрии поля скоростей;

🔹 подробно разберём качение колеса — как без проскальзывания, так и с проскальзыванием;

🔹 увидим, почему при чистом качении точка контакта с поверхностью является МЦВ и что происходит с мгновенным центром при проскальзывании.

Всюду работает ключевая мысль: иногда вместо того, чтобы складывать скорости, проще сначала найти правильную точку.

Этим вебинаром мы завершим весь маршрут курса: от графиков и векторов — через относительное движение и кинематические связи — к геометрии движения твёрдого тела.

Вебинар пройдет в zoom 2 октября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих.

Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции.

Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Итак, завтра у нас вебинар про функцию Эйлера, и на этом мы заканчиваем наш курс по теории чисел. А у меня уже готовы все идеи следующего мини-курса 🙂

Олимпиадная комбинаторика: от правил подсчёта до формулы Бернсайда

В этот раз попробуем пройти довольно большой путь: от самых первых правил комбинаторики до симметрий, орбит и формулы Бернсайда.

И мне очень хочется, чтобы новый курс содержательно перекликался с курсом «Олимпиадная теория чисел: от сравнений до функции Эйлера».

Потому что комбинаторика и теория чисел на олимпиадах постоянно и довольно неожиданно встречаются друг с другом 🙂

Планируется шесть вебинаров.

1. Комбинаторный подсчёт: от правил суммы и произведения до сочетаний

Большой, фундаментальный, основополагающий вебинар: правила суммы и произведения, перестановки, размещения, сочетания, в том числе с повторениями. Поговорим о подсчёте через дополнение, разных способах считать одни и те же объекты и о двойном подсчёте.

Главная цель — научиться не вспоминать готовую формулу, а понимать, что именно и каким способом нужно считать.

2. Комбинаторика делителей: от разложения на простые множители до функций делителей

Посмотрим на привычные задачи теории чисел глазами комбинаторики.

Почему формула для числа делителей устроена именно так? Как считать сумму и произведение делителей? Как разложение числа на простые множители превращается в задачу о независимом выборе?

Здесь уже начнут появляться прямые мостики к курсу по теории чисел.

3. Включения и исключения: от подсчёта с ограничениями до функции Эйлера

Научимся считать объекты, которые одновременно удовлетворяют нескольким условиям, и разбираться с неизбежными пересечениями.

А затем из чисто комбинаторного рассуждения неожиданно снова появится функция Эйлера.

То есть формулу, знакомую по курсу теории чисел, мы получим совсем другим способом.

4. Бином Ньютона и полиномиальная формула: от треугольника Паскаля до малой теоремы Ферма

Биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля, комбинаторные тождества, бином Ньютона и полиномиальная формула.

А в финале — ещё один мост к теории чисел: доказательство малой теоремы Ферма с помощью полиномиальной формулы.

На курсе по теории чисел мы использовали МТФ как рабочий инструмент. Здесь посмотрим, откуда она может возникнуть с совершенно неожиданной стороны.

5. Рекурсии в комбинаторике: от разбиения на случаи до чисел Фибоначчи и Каталана

Будем учиться не считать всё сразу, а сводить большую задачу к нескольким меньшим.

Замощения, строки, перестановки, последовательности, числа Фибоначчи — и дальше, насколько позволит время, дойдём до чисел Каталана.

Это тот самый класс задач, где главное — увидеть правильное рекуррентное соотношение.

6. Симметрия в комбинаторике: от циклических сдвигов до формулы Бернсайда

Ожерелья, раскраски, циклические сдвиги, группы симметрий, орбиты — и в конце формула Бернсайда.

А по дороге мы ещё раз докажем малую теорему Ферма, теперь уже через симметрию и орбиты.

Удивительно, что один и тот же арифметический факт возникнет в нашем курсе дважды — из совершенно разных комбинаторных идей!

Весь курс хочется построить вокруг одной мысли:

Комбинаторика — это не набор формул для «C из n по k», а искусство видеть, что именно и каким способом мы вычисляем.

Ну и, конечно, задач будет много 🙂

Функция Эйлера: от взаимно простых остатков до мультипликативности

Пятый и заключительный вебинар мини-курса
«Олимпиадная теория чисел: от сравнений до функции Эйлера».

Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами):
https://antitreningi.ru/pay/shop/m8szEw3f8790
(ссылка может плохо открываться при включённом VPN).

На предыдущем занятии мы уже пользовались теоремой Эйлера как готовым инструментом. Теперь разберёмся, откуда она берётся и почему работает.

Начнём с самой функции Эйлера и простейших вычислений, а дальше постепенно доберёмся до её главных свойств.

На вебинаре:

— найдём φ(p^k) и научимся быстро вычислять φ(n);

— посмотрим на функцию Эйлера как на число элементов слоя с заданным НОД;

— докажем красивое тождество Гаусса: сумма φ(d) по всем делителям d числа n равна n;

— свяжем эту идею с симпатичной задачей Московской математической олимпиады далёкого 1964 года;

— докажем мультипликативность функции Эйлера с помощью китайской теоремы об остатках;

— выведем общую формулу для φ(n);

— наконец докажем теорему Эйлера и получим малую теорему Ферма как её частный случай;

— и, конечно, порешаем олимпиадные задачи.

Причём функция Эйлера — вовсе не музейная редкость. В листке есть совсем свежие задачи Всеросса-2026 и «Росатома»-2025 и 2026.

А дальше пойдут задачи поинтереснее: те, где в условии вообще не написано «функция Эйлера», и её ещё нужно суметь заметить.

В предлагаемом листке имеется большой резерв для самостоятельной работы: уравнения с функцией Эйлера, сильные российские задачи, AIME и IMO Shortlist.

Вебинар пройдет в zoom 28 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих.

Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции.

Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

У нас тут прошёл уже третий вебинар по теории чисел:

Степени по модулю: от последней цифры до теоремы Эйлера
https://antitreningi.ru/pay/shop/_O4Vk8F5ZSLJ

Решил записать пару небольших видео, в которых суммируется многое из того, что на вебинарах обсуждалось.

Первое — совсем короткая задача:

Найти две последние цифры числа 3^2026.

Разберу её четырьмя способами.

Сначала — через КТО по модулям 4 и 25.

Потом — через теорему Эйлера и небольшой ручной подсчёт.

Потом — моментальное решение, если знать число 3^10.

И наконец — биномиальный лайфхак, основанный на том, что

3^2026 = 9^1013 = (−1 + 10)^1013.

Последний мне особенно нравится 🙂

Задача про 3^2026 — видео
https://mathus.ru/video/32026.mp4

Файл с решением
https://mathus.ru/video/pdf/32026.pdf

А заодно оставлю задачу на подумать до завтра.

Canadian MO 2003, задача 2:
Найдите три последние цифры числа 2003^(2002^2001).

Она уже заметно интереснее, но идеи нужны совершенно аналогичные.

Попробуйте решить сами. Завтра выложу видео с двумя способами решения.

Вебинар «Относительное движение: геометрия скоростей»

Третий вебинар курса «Геометрическая кинематика».

Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами):
https://antitreningi.ru/pay/shop/Zfe8HiMTw99a
(ссылка может плохо открываться при включенном VPN).

О чём будем говорить?

Когда одновременно движутся два тела, задача часто выглядит гораздо сложнее, чем движение каждого из них по отдельности.

Но иногда достаточно правильно выбрать наблюдателя — и вместо двух движений остаётся одно, а вместо длинных вычислений появляется простая геометрия.

На вебинаре разберём:

— выбор удобной системы отсчёта;
— сложение и вычитание векторов скоростей;
— движение при ветре и течении;
— минимальную скорость и минимальный снос;
— задачи на сближение и перехват;
— относительное движение в баллистике.

Последний сюжет особенно симпатичен.

Если два тела движутся с одинаковым ускорением — например, оба брошены в поле тяжести, — то их относительное ускорение равно нулю.

И две параболические траектории относительно друг друга превращаются в равномерное прямолинейное движение.

Будут задачи «Физтеха», «Росатома», МОШ, «Ломоносова», «Шага в будущее», ПВГ и, конечно, Всеросса!

Как обычно, будем стараться увидеть геометрию раньше, чем начинать считать.

Главный вопрос вебинара:
не «как движутся два тела?», а «как одно тело движется относительно другого?»

Вебинар пройдет в zoom 18 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих.

Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции.

Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Похоже, вебинары по физике тоже складываются в законченный мини-курс —

«Геометрическая кинематика: от графиков и векторов до связей и мгновенного центра вращения»

Первое занятие уже прошло:

4 сентября — «Графическая кинематика»

https://antitreningi.ru/pay/shop/Yo_LhDs5TuC0

Учились решать кинематические задачи геометрически: через наклоны и площади под графиками, пересечения, касательные и правильную картинку движения.

Теперь идём дальше.

11 сентября — «Векторная баллистика»

https://antitreningi.ru/pay/shop/gQ6ucaGzr0TM

Будем смотреть на полёт тела через геометрию векторов скорости и ускорения. Меньше покоординатных вычислений — больше треугольников, векторных построений и красивых коротких решений.

18 сентября — «Относительное движение: геометрия скоростей»

Лодки и течения, ветер и дождь, встречи и преследования, минимальные расстояния. Многие такие задачи становятся почти очевидными, если перейти в правильную систему отсчёта и нарисовать векторы скоростей.

25 сентября — «Кинематика со связями: нити, стержни и закон палочки»

Что происходит, когда движения разных тел связаны между собой? Нерастяжимые нити, блоки, стержни, направляющие — и знаменитый «закон палочки», который позволяет очень быстро связывать скорости разных точек.

2 октября — «Мгновенный центр вращения: геометрия скоростей твёрдого тела»

А в финале — стержни, колёса, диски и другие твёрдые тела. Будем находить скорости их точек через мгновенный центр вращения — зачастую практически без вычислений.

Весь курс строится вокруг одной идеи:

Кинематика — это не только формулы. Очень часто это прежде всего геометрия движения.

Сначала — геометрия графиков.
Потом — геометрия векторов.
Дальше — относительные скорости и связи между движениями.
И наконец — геометрия скоростей целого твёрдого тела.

К курсу вполне можно подключаться и сейчас, со второго вебинара. Первое занятие полезно как база, но жёсткой зависимости между вебинарами не будет — всё необходимое я буду по ходу дела напоминать.