Math Atlas 103

Евклидово пространство соответствует «обычной» трёхмерной геометрии, которую мы изучаем в школе. Это геометрия плоского вещественного трёхмерного векторного пространства R³

Трёхмерная сфера S³ — это трёхмерный аналог обычной сферы в двух измерениях. Это изотропное пространство (все направления играют одинаковую роль). Среди восьми геометрий Тёрстона оно единственное компактное. Его можно рассматривать как универсальное накрытие расслоения единичных касательных векторов двумерной сферы (расслоение Хопфа)

Гиперболическое пространство H³ — это трёхмерный аналог гиперболической плоскости. Это тоже изотропное пространство (все направления играют одинаковую роль). Среди восьми геометрий оно имеет наиболее богатый класс решёток (факторы по ним — гиперболические 3-многообразия)

Это прямое произведение двумерной сферы и вещественной прямой. Его также можно рассматривать как универсальную накрывающую для произведения двумерной сферы и единичной окружности

Это прямое произведение гиперболической плоскости и вещественной прямой. Её также можно рассматривать как универсальную накрывающую для произведения сферы с хотя бы 2 ручками и единичной окружности

Это трёхмерная нильпотентная группа Ли. Её также можно рассматривать как универсальную накрывающую пространства, полученного надстрокой (suspension, mapping torus) двумерного тора с помощью скручивания Дена

SL(2,R) — это множество всех вещественных матриц 2×2 с определителем, равным единице. Пространство ŜL(2,R) является её универсальной накрывающей. Существует несколько способов представить это пространство. Например, SL(2,R) — это расслоение единичных касательных векторов гиперболической плоскости H². Эта точка зрения придаёт ŜL(2,R) структуру расслоения над H², которое можно рассматривать как гиперболический аналог расслоения Хопфа

Sol — это трёхмерная разрешимая группа Ли. Её также можно рассматривать как универсальную накрывающую пространства, полученного надстройкой двумерного тора с помощью отображения кошки-Арнольда-Тома