X117 | DIY Geometry Lab

Собрал и запустил себе новую рабочую станцию, до которой руки не доходили три года (всё это время хватало для работы игрового ноутбука). В комплектации два серверных проца Xeon E5-2699 v4 2.20 GHz на материнской плате Jingsha X99 D4 Dual Pro, оперативка 256Gb (8 x 32 DDR4), видеокарта Palit GeForce RTX 3090 GameRock 24Gb. Теперь можно не заморачиваться оптимизацией геометрических алгоритмов. Не знаю, насколько за три года это железо морально устарело, но не подешевело точно.

#железо
...

Про цилиндрическую систему координат и нормали в точках полигональной поверхности на базе четырёхугольников.

В качестве главной формообразующей основы для проектирования диафизарных имплантов я использую цилиндрические low_poly сетки, построенные на основе сечений полигональных моделей костей на уровнях запланированных резекций, а также на уровнях проксимальнее/дистальнее них, промежуточные сечения при этом получаются в результате интерполяции сечений на базовых уровнях резекций. Сечения представляют собой многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях на одинаковом расстоянии друг от друга, которые приводятся к низкодискретизированному виду с одинаковым количеством вершин (узлов) и одинаковой ориентацией, вершины (узлы) каждого сечения соединяются с соответствующими вершинами (узлами) выше и ниже лежащих сечений вертикальными рёбрами, таким образом получается топологически цилиндрическая сетка с четырёхугольной формой ячейки. Узлы на сетке можно двигать, например, приподнимать повыше или погружать поглубже для лучшей адаптации формы сетки к ответной поверхности, а также удалять вместе с инцедентными рёбрами, если нужно сформировать окна в местах, где это функционально необходимо. Далее эта сетка служит для построения формы солидного и пористого компонентов импланта, наружной решётки с аутсетами, а также как каркас и координатная система для расположения различных конструктивных элементов на импланте (технологических отверстий, дополнительных крепёжных элементов, маркировки и т.д.).

Координатная система в данном случае используется цилиндрическая, две координаты - по вертикали - порядковый номер уровня сечения, по горизонтали - порядковый номер узла в контуре сечения, третья координата - глубина/высота точки под/над поверхностью, эти числа могут быть дробными, то есть ими можно описать точку, не только совпадающую с узлами, но также и находящуюся в любом месте поверхности импланта, между сечениями и между вертексами, координаты промежуточных точек получаются в результате интерполяции координат узлов. Такая координатная система пригождается для привязки к поверхности импланта и точного позиционирования элементов на ней. Для позиционирования элементов на поверхности импланта кроме координат точек важно правильно определять разные реперные направления: нормаль поверхности, касательная, проксимальное направление и т.д.

Нормаль произвольной точки поверхности вычисляется как сумма нормалей смежных полигонов. Если точка совпадает с узлом, берём четыре рядом лежащих четырёхугольника, для которых эта вершина - общая, если точка приходится на ребро, берём два рядом лежащих четырёхугольника, для которых это ребро общее, если точка находится где-то между рёбер, то есть внутри одного четырёхугольника, берём собственно этот четырёхугольник. Чтобы посчитать нормаль четырёхугольника, делим его на два треугольника, вычисляем и складываем нормали каждого, касательные вычисляются как суммы направляющих векторов рёбер по такой же логике, такая нехитрая дискретная дифференциальная геометрия. Ничего вроде особенного, но в процессе выяснилась интереснейшая вещь, которой я хочу поделиться! Четырёхугольнику в пространстве не обязательно лежать в одной плоскости, четыре вершины легко могут быть некомпланарными, и в зависимости от того, как четырёхугольник поделить диагональю на треугольники может получиться как выпуклая фигура, так и вогнутая. Так вот сумма нормалей этих двух треугольников будет всегда одной и той же, независимо от способа разбиения! Вектор нормали зависит только от ориентации треугольников, больше ни от чего. По-моему, это прикольно. 🤗

На иллюстрации - 3d-модель импланта для замещения низкого дефекта плечевой кости, на поверхности импланта видно описанную решётку с четырёхугольными ячейками, на которой расположены конструктивные элементы (в данном случае отверстия для винтов), позиционированные в цилиндрической системе координат и выровненные по вычисленным векторам нормалей. Зелёными цилиндрами обозначено расположение фиксирующих винтов.

#автоматизация_проектирования
#травматология_и_ортопедия
...

В продолжении вышеначатого, профессор А.А.Усков выложил свою книгу про матрицы в открытый доступ: https://t.me/MathModels/1553.

#линейная_алгебра
#читать_полезно
...