Теория большого ивента

Если можешь, иди назад, а не можешь —вперёд

Воскресной математики вам. Есть такая последовательность Рекамана — одна из тех математических игрушек, которые начинаются с правила, понятного школьнику, а заканчиваются вопросами, на которые математики до сих пор не знают ответа.

Начинаем с нуля. На каждом шаге пытаемся вычесть номер этого шага из предыдущего числа. Если результат положительный и такого числа в последовательности ещё не было — идём назад. Если нельзя — прибавляем номер шага и идём вперёд. Получается: 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11… Никакой случайности: каждый следующий член определяется совершенно однозначно.
Особенно красиво последовательность выглядит, если нарисовать её на числовой оси, соединяя соседние значения полуокружностями — одну сверху, следующую снизу.

Из нескольких простейших арифметических правил постепенно возникает красивый узор.

А дальше интересно. Последовательность в целом уходит всё дальше вправо, к большим числам, но делает это совершенно не так, как мы привыкли представлять себе «стремление к бесконечности». Она может десятки тысяч шагов крутиться среди огромных значений, а потом словно внезапно спохватиться:

«Ой, а я 19 забыла»

и рухнуть почти обратно к началу координат. В вычислительном эксперименте число 19 впервые появляется только примерно на стотысячном шаге. А 1355 за первый миллион шагов не посещает вообще.

И — не поверите, математики до сих пор не доказали, что последовательность Рекамана вообще обязательно когда-нибудь посетит каждое неотрицательное целое число. Компьютеры проверили огромное количество шагов, множество пропущенных чисел рано или поздно находятся, но общего доказательства нет. То есть мы не знаем, не существует ли где-нибудь совершенно обычного маленького числа, которое этот детерминированный бесконечный маршрут забудет навсегда.

Мне такое нравится. Мы привыкли думать о математике как о месте, где на всё существует точный ответ. А иногда достаточно написать правило из двух строчек — «если можешь, иди назад, иначе иди вперёд» — и перед тобой возникает объект, который можно вычислять миллионы раз, красиво рисовать, исследовать на компьютере и всё равно не до конца понимать.

Ты знаешь совершенно точно, куда сделать следующий шаг, но понятия не имеешь, куда в итоге придёшь и что забудешь по дороге.

Мир, который умеет считать

Есть такая старая математическая моделька-игра: «Жизнь» Джона Конвея. Поле состоит из клеток, каждая из которых знает только одно: сколько у неё живых соседей. Правила невероятно просты. Если у мёртвой клетки ровно три соседа — она рождается. Если у живой два или три соседа — она продолжает жить. Во всех остальных случаях клетка погибает.

Именно это сочетание правил — рождение при 3 соседях и выживание при 2 или 3 — создаёт удивительно богатый мир. Чуть измените числа — и жизнь либо быстро вымрет, либо превратится в хаотичный шум. А здесь возникают неподвижные фигуры, осцилляторы, движущиеся объекты и бесконечное разнообразие комбинаций. Как будто кто-то случайно подобрал параметры маленькой Вселенной.

Но самое интересное начинается, когда на эти фигуры перестаёшь смотреть как на картинки. Движущийся «планер» оказывается импульсом, несущим информацию. Конструкции, регулярно выпускающие планеры, становятся генераторами тактовых сигналов. Столкновения планеров превращаются в логические операции. Добавьте память — и получите настоящий компьютер. Оказывается, внутри этой игрушки можно построить машину Тьюринга, а значит, теоретически выполнить любую вычислимую задачу.

При этом ни одна клетка не знает, что участвует в вычислениях. Она не знает, что такое компьютер, память или логика. Она вообще ничего не знает, кроме своих восьми соседей. Но из миллиардов таких локальных взаимодействий возникает система, которая ведёт себя как единый организм. Это одна из самых красивых иллюстраций эмерджентности: свойства целого оказываются гораздо богаче, чем сумма свойств отдельных элементов.

Мне кажется, отличный образ для корпоративной культуры. Ни один сотрудник в одиночку не создаёт компанию. Культура рождается из тысяч маленьких взаимодействий: кто кому помог, как принято реагировать на ошибки, какие поступки поощряются, а какие остаются незамеченными. Большие результаты часто являются следствием не больших решений, а простых правил, которые ежедневно повторяются.

Есть у игры Конвея и ещё один красивый философский вывод. Даже зная абсолютно все законы этого мира, мы не можем заранее предсказать судьбу любой конфигурации. Для некоторых начальных состояний единственный способ узнать, что произойдёт, — честно прожить поколение за поколением. Иногда будущее невозможно вычислить быстрее, чем оно само наступит.

Если захотите поэкспериментировать, навайбкодил интерактивный симулятор. Попробуйте поменять правила, запустить разные фигуры и посмотреть, насколько неожиданным может оказаться поведение мира, который живёт всего по двум простым законам.